財金數量方法習題 - Gemini Pro 2.5 解答 Chapter 01
2025-07-06 15:25:33 
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財金數量方法 Chapter 1 習題解答 (1-40)
1. 某人存款 20000 元，年利率 4%，每三個月計息一次，試計算若銀行採: (1) 單利利息 (2) 複利計息，兩年後本利和共計多少？
解答：
- 本金 (P) = 20,000 元
- 年利率 (r) = 4% = 0.04
- 期間 (t) = 2 年
- 每年計息次數 (n) = 12 / 3 = 4 次
(1) 單利計息 (Simple Interest)
- 公式: 本利和 A = P(1 + rt)
- 計算: A = 20,000 * (1 + 0.04 * 2) = 20,000 * (1.08) = 21,600 元
(2) 複利計息 (Compound Interest)
- 公式: 本利和 A = P(1 + r/n)^(nt)
- 計算: A = 20,000 * (1 + 0.04/4)^(4*2) = 20,000 * (1.01)^8
- A ≈ 20,000 * 1.0828567 = 21,657.13 元
2. 某人計畫在銀行定存，並希望五年後本利和達到 100 萬元，當時年利率 8%，每季計息一次，複利計算，則他現在應該存多少錢？
解答：
-
未來值 (FV) = 1,000,000 元
-
年利率 (r) = 8% = 0.08
-
期間 (t) = 5 年
-
每年計息次數 (n) = 4 (每季一次)
-
現值 (PV) = ?
-
公式: PV = FV / (1 + r/n)^(nt)
-
計算: PV = 1,000,000 / (1 + 0.08/4)^(4*5)
-
PV = 1,000,000 / (1.02)^20
-
PV ≈ 1,000,000 / 1.485947
-
PV ≈ 672,971.33 元 所以，他現在應該存入約 672,971.33 元。
3. 試求 ln(e³x / e^y)。
解答：
利用對數律：
- ln(a/b) = ln(a) - ln(b)
- ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
- ln(e^x) = x
- ln(e³x / e^y) = ln(e³x) - ln(e^y)
- = ln(e³) + ln(x) - ln(e^y)
- = 3 + ln(x) - y
- = 3 - y + ln(x)
4. 試證 lim(x→1) (-2x+2) = 4。 (題目印刷可能有誤，若為 lim(x→-1)，則極限為 4。若為 lim(x→1)，則極限為 0。此處依題目印刷解答)
解答：
直接代入法：
- lim(x→1) (-2x + 2) = -2(1) + 2 = -2 + 2 = 0
(若題目為 lim(x→-1) (-2x+2) = 4)
- lim(x→-1) (-2x + 2) = -2(-1) + 2 = 2 + 2 = 4
5. 試求 lim(x→3) (x²+9) / (x²-2x-3)。
解答：
- 先嘗試直接代入 x = 3。
- 分母: (3)² - 2(3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0
- 分子: (3)² + 9 = 18
- 極限的形式為 18/0，這表示在 x=3 處有垂直漸近線。
- 我們需要檢查左極限和右極限：
- 分母因式分解: x² - 2x - 3 = (x-3)(x+1)
- 右極限 (x→3⁺): 分子趨近 18，分母 (x-3) 是微小的正數，(x+1) 趨近 4，所以分母是微小的正數。極限為 +∞。
- 左極限 (x→3⁻): 分子趨近 18，分母 (x-3) 是微小的負數，(x+1) 趨近 4，所以分母是微小的負數。極限為 -∞。
- 因為左極限和右極限不相等，所以 此極限不存在 (DNE)。
6. 試求 lim(x→3) (x²-9) / (x²-2x-3)。
解答：
- 直接代入 x=3，會得到 0/0 的不定型。
- 使用因式分解法：
- 分子: x² - 9 = (x-3)(x+3)
- 分母: x² - 2x - 3 = (x-3)(x+1)
- 化簡表達式： lim(x→3) [(x-3)(x+3)] / [(x-3)(x+1)] = lim(x→3) (x+3) / (x+1)
- 再次代入 x=3： = (3+3) / (3+1) = 6 / 4 = 3/2
7. 試求 lim(x→0) (2-√(x+4)) / 2x。
解答：
- 直接代入 x=0，會得到 (2-√4)/0 = 0/0 的不定型。
- 使用共軛根式法，分子分母同乘以 (2+√(x+4))： lim(x→0) [(2-√(x+4)) * (2+√(x+4))] / [2x * (2+√(x+4))] = lim(x→0) [4 - (x+4)] / [2x * (2+√(x+4))] = lim(x→0) [-x] / [2x * (2+√(x+4))]
- 消去 x： = lim(x→0) -1 / [2 * (2+√(x+4))]
- 再次代入 x=0： = -1 / [2 * (2+√4)] = -1 / [2 * (2+2)] = -1 / (2 * 4) = -1/8
8. 試求 lim(x→∞) (3x-2sinx) / x。
解答：
- 將分數拆開： lim(x→∞) [3x/x - 2sinx/x] = lim(x→∞) [3 - (2sinx)/x]
- 分別求極限：
- lim(x→∞) 3 = 3
- 對於 lim(x→∞) (2sinx)/x，我們使用夾擠定理 (Squeeze Theorem)。
- 因為 -1 ≤ sinx ≤ 1，所以 -2 ≤ 2sinx ≤ 2。
- 當 x > 0 時，-2/x ≤ (2sinx)/x ≤ 2/x。
- 因為 lim(x→∞) -2/x = 0 且 lim(x→∞) 2/x = 0，
- 所以根據夾擠定理，lim(x→∞) (2sinx)/x = 0。
- 合併結果： = 3 - 0 = 3
9. 試求 lim(x→0) (5|x|³ + 5x⁵) / x³。
解答：
因為有絕對值，我們需要考慮左極限和右極限。
- 右極限 (x→0⁺): 當 x > 0, |x| = x lim(x→0⁺) (5x³ + 5x⁵) / x³ = lim(x→0⁺) (5 + 5x²) = 5 + 5(0)² = 5
- 左極限 (x→0⁻): 當 x < 0, |x| = -x，所以 |x|³ = (-x)³ = -x³ lim(x→0⁻) (5(-x³) + 5x⁵) / x³ = lim(x→0⁻) (-5x³ + 5x⁵) / x³ = lim(x→0⁻) (-5 + 5x²) = -5 + 5(0)² = -5
因為左極限 (-5) ≠ 右極限 (5)，所以 此極限不存在 (DNE)。
10. 試求 lim(x→-∞) |x| / 3x。
解答：
當 x → -∞，x 是一個很大的負數，所以 |x| = -x。
- lim(x→-∞) |x| / 3x = lim(x→-∞) -x / 3x
- 消去 x：
- = -1/3
11. 試求 lim(x→0⁻) |x| / 5x³。
解答：
當 x → 0⁻ (從左側趨近 0)，x 是微小的負數，所以 |x| = -x。
- lim(x→0⁻) |x| / 5x³ = lim(x→0⁻) -x / 5x³
- = lim(x→0⁻) -1 / 5x²
- 當 x 趨近 0 時，x² 是一個微小的正數。
- 所以 -1 / (5 * 微小正數) = -∞
12. 試求 lim(x→0) 3x²sin(1/x)。
解答：
我們使用夾擠定理 (Squeeze Theorem)。
- 我們知道 -1 ≤ sin(1/x) ≤ 1，對於所有 x ≠ 0。
- 將不等式同乘以 3x² (因為 x² ≥ 0，不等號方向不變)： -3x² ≤ 3x²sin(1/x) ≤ 3x²
- 取極限：
- lim(x→0) -3x² = 0
- lim(x→0) 3x² = 0
- 根據夾擠定理，因為 3x²sin(1/x) 被夾在兩個趨近於 0 的函數之間，所以： lim(x→0) 3x²sin(1/x) = 0
13. 試求 lim(x→-2) (x-3) / (x+2)。
解答：
- 直接代入 x = -2。
- 分母: -2 + 2 = 0
- 分子: -2 - 3 = -5
- 極限的形式為 -5/0，這表示在 x=-2 處有垂直漸近線。
- 檢查左極限和右極限：
- 右極限 (x→-2⁺): 分子趨近 -5，分母 (x+2) 是微小的正數。極限為 -∞。
- 左極限 (x→-2⁻): 分子趨近 -5，分母 (x+2) 是微小的負數。極限為 +∞。
- 因為左極限和右極限不相等，所以 此極限不存在 (DNE)。
14. 試求 lim(x→1) (3x-2)^(1/(1-3x))。
解答：
- 直接代入 x = 1。
- 底數: 3(1) - 2 = 1
- 指數: 1 / (1 - 3(1)) = 1 / -2 = -1/2
- 極限的形式為 1^(-1/2)。
- lim(x→1) (3x-2)^(1/(1-3x)) = (1)^(-1/2) = 1
15. 試求 lim(x→0) (3^x - 1) / x。
解答：
這是指數函數導數的定義形式之一。
- 回憶導數定義：f’(a) = lim(x→a) [f(x) - f(a)] / (x - a)
- 令 f(x) = 3^x，a = 0。則 f(0) = 3^0 = 1。
- 所以 lim(x→0) (3^x - 1) / x = lim(x→0) [f(x) - f(0)] / (x - 0) = f’(0)。
- 計算 f(x) = 3^x 的導數：f’(x) = 3^x * ln(3)。
- 代入 x = 0：f’(0) = 3^0 * ln(3) = 1 * ln(3) = ln(3)。
或者，可以使用羅必達法則 (L’Hôpital’s Rule)，因為代入 x=0 得到 0/0：
- 對分子求導：d/dx (3^x - 1) = 3^x * ln(3)
- 對分母求導：d/dx (x) = 1
- 求極限：lim(x→0) [3^x * ln(3)] / 1 = 3^0 * ln(3) = ln(3)。
16. 某人存款 10000 元，年利率 5%，連續複利計算，20 年後本利和共多少？
解答：
-
本金 (P) = 10,000 元
-
年利率 (r) = 5% = 0.05
-
期間 (t) = 20 年
-
本利和 (A) = ?
-
連續複利公式: A = P * e^(rt)
-
計算: A = 10,000 * e^(0.05 * 20)
-
A = 10,000 * e¹
-
A ≈ 10,000 * 2.71828
-
A ≈ 27,182.8 元
17. 某人計畫在銀行定存，並希望 20 年後本利和達到 2000 萬元，當時年利率 6%，每季計息一次，連續複利計算，則他現在應該存多少錢？ (題目有矛盾：「每季計息一次」和「連續複利計算」是兩種不同的計息方式。此處分別計算)
解答：
情況一：若為每季計息
-
未來值 (FV) = 20,000,000 元
-
年利率 (r) = 6% = 0.06
-
期間 (t) = 20 年
-
每年計息次數 (n) = 4
-
現值 (PV) = ?
-
公式: PV = FV / (1 + r/n)^(nt)
-
計算: PV = 20,000,000 / (1 + 0.06/4)^(4*20)
-
PV = 20,000,000 / (1.015)^80
-
PV ≈ 20,000,000 / 3.29066
-
PV ≈ 6,077,811.53 元
情況二：若為連續複利
-
未來值 (A) = 20,000,000 元
-
年利率 (r) = 6% = 0.06
-
期間 (t) = 20 年
-
現值 (P) = ?
-
公式: P = A / e^(rt)
-
計算: P = 20,000,000 / e^(0.06 * 20)
-
P = 20,000,000 / e^(1.2)
-
P ≈ 20,000,000 / 3.320117
-
P ≈ 6,023,883.33 元
18. 找一個與年利率 2.5%，每半個月計息一次之複利等價之連續複利的年利率 r。
解答：
設定兩種計息方式一年後的本利和相等。假設本金為 P。
-
每半個月計息一次 (複利):
- 年利率 r_eff = 2.5% = 0.025
- 每年計息次數 n = 24
- 一年後本利和: A₁ = P * (1 + 0.025/24)²⁴
-
連續複利:
- 年利率為 r
- 一年後本利和: A₂ = P * e^(r*1) = P * e^r
-
令 A₁ = A₂： P * (1 + 0.025/24)²⁴ = P * e^r (1 + 0.025/24)²⁴ = e^r
-
兩邊取自然對數 (ln)： ln[(1 + 0.025/24)²⁴] = ln(e^r) 24 * ln(1 + 0.025/24) = r
-
計算： ln(1 + 0.00104167) ≈ ln(1.00104167) ≈ 0.00104111 r ≈ 24 * 0.00104111 ≈ 0.0249867 r ≈ 2.4987%
19. 找一個與年利率 20%，每季計息一次之複利等價之連續複利的年利率 r，並計算當本金為 2000 元時，2.5 年後的本利和。
解答：
第一部分：計算等價連續複利率 r
- 每季計息:
- 年利率 r_eff = 20% = 0.2
- 每年計息次數 n = 4
- 一年後本利和: P * (1 + 0.2/4)⁴ = P * (1.05)⁴
- 連續複利:
- 年利率為 r
- 一年後本利和: P * e^r
- 令兩者相等： (1.05)⁴ = e^r ln[(1.05)⁴] = ln(e^r) 4 * ln(1.05) = r r ≈ 4 * 0.04879 = 0.19516 r ≈ 19.516%
第二部分：計算 2.5 年後的本利和
-
本金 (P) = 2,000 元
-
期間 (t) = 2.5 年 我們可以使用任一種計息方式，結果應該相同。
-
使用每季計息:
- A = P * (1 + r_eff/n)^(n*t)
- A = 2000 * (1 + 0.2/4)^(4 * 2.5) = 2000 * (1.05)¹⁰
- A ≈ 2000 * 1.62889
- A ≈ 3257.79 元
-
使用連續複利:
- A = P * e^(r*t)
- A = 2000 * e^(0.19516 * 2.5) = 2000 * e^(0.4879)
- A ≈ 2000 * 1.62889
- A ≈ 3257.79 元
20. 試求 Σ (n=1 to ∞) 1/[(n+1)(n+3)] 的和。
解答：
這是一個無窮級數，我們使用部分分式法 (Partial Fraction Decomposition)。
-
將 1/[(n+1)(n+3)] 拆解為 A/(n+1) + B/(n+3)。 1 = A(n+3) + B(n+1)
- 令 n = -1: 1 = A(-1+3) => 1 = 2A => A = 1/2
- 令 n = -3: 1 = B(-3+1) => 1 = -2B => B = -1/2 所以 1/[(n+1)(n+3)] = (1/2) * [1/(n+1) - 1/(n+3)]
-
寫出級數的前幾項來觀察規律（提出 1/2）： S = (1/2) * [ (1/2 - 1/4) + (1/3 - 1/5) + (1/4 - 1/6) + (1/5 - 1/7) + (1/6 - 1/8) + … ]
-
這是一個伸縮級數 (Telescoping Series)。我們可以看到 -1/4 和 +1/4 對消，-1/5 和 +1/5 對消，以此類推。 剩下的項是開頭的 1/2 和 1/3。 S_N (前 N 項和) ≈ (1/2) * [ 1/2 + 1/3 - 1/(N+2) - 1/(N+3) ]
-
當 N → ∞ 時，1/(N+2) 和 1/(N+3) 都趨近於 0。 S = (1/2) * [ 1/2 + 1/3 ] S = (1/2) * [ 3/6 + 2/6 ] = (1/2) * (5/6) = 5/12
21. 若一股票在購買後每季會發一次股利，每次為面額的 3%，若現在此股票面額為 35 元，目前年利率為 6%，試問持股十年的股票現值為何？
解答：
這是一個計算普通年金現值 (Present Value of an Ordinary Annuity) 的問題。
-
每期支付 (PMT) = 35 * 3% = 1.05 元
-
每期利率 (i) = 年利率 / 計息次數 = 6% / 4 = 1.5% = 0.015
-
總期數 (n) = 10 年 * 4 季/年 = 40 期
-
現值 (PV) = ?
-
普通年金現值公式: PV = PMT * [ (1 - (1+i)^-n) / i ]
-
計算: PV = 1.05 * [ (1 - (1.015)^-40) / 0.015 ]
-
(1.015)^-40 ≈ 0.55126
-
PV = 1.05 * [ (1 - 0.55126) / 0.015 ]
-
PV = 1.05 * [ 0.44874 / 0.015 ]
-
PV = 1.05 * 29.916
-
PV ≈ 31.41 元
22. 若一投資案，在 3 年後開始的 20 年內，每年年初可收到 2 萬元的報酬，以複利計息，目前年利率為 5%，試問其報酬現值及期末未來值為何？
解答：
這是一個延期期初年金 (Deferred Annuity Due) 問題。
- 每期支付 (PMT) = 20,000 元
- 年利率 (i) = 5% = 0.05
- 支付期數 (n) = 20 年
- 延期期數 (m) = 2 年 (第 3 年初等於第 2 年末)
1. 報酬現值 (Present Value)
- Step 1: 計算這 20 筆年金在第 2 年末 (t=2) 的現值 (這是一個標準的期初年金)。
- 期初年金現值公式: PVA_due = PMT * [ (1 - (1+i)^-n) / i ] * (1+i)
- PVA_due (at t=2) = 20,000 * [ (1 - (1.05)^-20) / 0.05 ] * (1.05)
- (1.05)^-20 ≈ 0.37689
- PVA_due (at t=2) = 20,000 * [ (1 - 0.37689) / 0.05 ] * 1.05
- PVA_due (at t=2) = 20,000 * [ 0.62311 / 0.05 ] * 1.05
- PVA_due (at t=2) = 20,000 * 12.4622 * 1.05 ≈ 261,706.2
- Step 2: 將第 2 年末的價值折現回現在 (t=0)。
- PV = PVA_due (at t=2) / (1+i)^m
- PV = 261,706.2 / (1.05)² = 261,706.2 / 1.1025
- PV ≈ 237,375.24 元
2. 期末未來值 (Future Value)
-
整個投資案的期間是 2 + 20 = 22 年。我們要求在第 22 年末的未來值。
-
Step 1: 計算 20 筆年金的期末值。
- 期初年金未來值公式: FVA_due = PMT * [ ((1+i)^n - 1) / i ] * (1+i)
- (1.05)^20 ≈ 2.6533
- FVA_due = 20,000 * [ (2.6533 - 1) / 0.05 ] * (1.05)
- FVA_due = 20,000 * [ 1.6533 / 0.05 ] * 1.05
- FVA_due = 20,000 * 33.066 * 1.05 ≈ 694,386 元 (註：此為第 22 年初的價值，也是第 21 年末的價值，第一筆錢投入後過了 21 年，最後一筆錢投入後過了 1 年)
更精確地說，未來值通常指在最後一筆現金流發生之後的價值。此案最後一筆錢在第 22 年初支付，總時長為 22 年，所以未來值應計算在第 22 年末。
- 計算普通年金的未來值，然後再複利一年。
- FVA_ord = 20,000 * [ (1.05^20 - 1) / 0.05 ] = 661,319.08
- 此為第 22 年初，最後一筆錢剛投入時的價值。到第 22 年末還需再複利一年。
- FV = 661,319.08 * 1.05 = 694,385.03 元
23. 設 f(x)=2x+5, g(x)=x³+1，試求 (f∘g)(x), (g∘f)(x)。
解答：
-
(f∘g)(x) = f(g(x))
- = f(x³+1)
- = 2(x³+1) + 5
- = 2x³ + 2 + 5
- = 2x³ + 7
-
(g∘f)(x) = g(f(x))
- = g(2x+5)
- = (2x+5)³ + 1
- = ( (2x)³ + 3(2x)²(5) + 3(2x)(5)² + 5³ ) + 1
- = ( 8x³ + 60x² + 150x + 125 ) + 1
- = 8x³ + 60x² + 150x + 126
24. 設函數 g(x)=x + 1/x， F(x)=x³ + 1/x³ (x≠0)，試求一函數 f(x) 使得 f(g(x))=F(x)。
解答：
- 我們想找 f(y) 使得 f(g(x)) = F(x)。
- 令 y = g(x) = x + 1/x。
- 我們需要用 y 來表示 F(x) = x³ + 1/x³。
- 考慮 y³： y³ = (x + 1/x)³ = x³ + 3(x)²(1/x) + 3(x)(1/x)² + (1/x)³ y³ = x³ + 3x + 3/x + 1/x³ y³ = (x³ + 1/x³) + 3(x + 1/x)
- 替換 F(x) 和 g(x)： y³ = F(x) + 3 * g(x) y³ = F(x) + 3y
- 解出 F(x)： F(x) = y³ - 3y
- 因為 f(y) = F(x)，所以 f(y) = y³ - 3y。
- 將變數 y 換回 x，得到 f(x)。 f(x) = x³ - 3x
25. 設 f(x) = x³ - 2x² + 4x²，試將 f(x) 化成一偶函數 g(x) 及一奇函數 h(x) 的和。 (題目應為 f(x) = x³ - 2x² + 4x)
解答：
假設題目為 f(x) = x³ - 2x² + 4x。 任何函數 f(x) 都可以表示為一個偶函數 g(x) 和一個奇函數 h(x) 的和。
- 偶函數 g(x) = [f(x) + f(-x)] / 2
- 奇函數 h(x) = [f(x) - f(-x)] / 2
-
計算 f(-x): f(-x) = (-x)³ - 2(-x)² + 4(-x) = -x³ - 2x² - 4x
-
計算偶函數 g(x): g(x) = [ (x³ - 2x² + 4x) + (-x³ - 2x² - 4x) ] / 2 g(x) = [ -4x² ] / 2 g(x) = -2x²
-
計算奇函數 h(x): h(x) = [ (x³ - 2x² + 4x) - (-x³ - 2x² - 4x) ] / 2 h(x) = [ x³ - 2x² + 4x + x³ + 2x² + 4x ] / 2 h(x) = [ 2x³ + 8x ] / 2 h(x) = x³ + 4x
驗證: g(x) + h(x) = -2x² + x³ + 4x = f(x)。
26. 設 f(x) = 3x + 7，試求 f⁻¹(x)。
解答：
- 令 y = f(x)，即 y = 3x + 7。
- 為了求反函數，我們要解出 x。 y - 7 = 3x x = (y - 7) / 3
- 將 x 和 y 交換。 y = (x - 7) / 3
- 所以，f⁻¹(x) = (x - 7) / 3 或 (1/3)x - 7/3。
27. 試討論 f(x) = x³ 的反函數 f⁻¹(x) 存在與否。
解答：
一個函數存在反函數的充要條件是該函數為一對一 (one-to-one) 函數。
-
代數檢驗: 假設 f(a) = f(b)，則 a³ = b³。 a³ - b³ = 0 (a - b)(a² + ab + b²) = 0 這意味著 a - b = 0 或者 a² + ab + b² = 0。 對於第二個因子 a² + ab + b²，除非 a=b=0，否則它恆大於 0。可以看作 (a + b/2)² + (3/4)b² ≥ 0。 因此，唯一的實數解是 a = b。 因為 f(a) = f(b) 蘊含 a = b，所以 f(x) = x³ 是一個一對一函數。
-
微積分檢驗 (水平線測試): f’(x) = 3x²。 除了在 x=0 處 f’(0)=0，對於所有其他 x，f’(x) > 0。 這表示函數 f(x) = x³ 是嚴格遞增函數 (strictly increasing)。 一個嚴格單調的函數必然是一對一的。
結論: 因為 f(x) = x³ 是一對一函數，所以其反函數 f⁻¹(x) 存在。反函數為 f⁻¹(x) = x^(1/3) = ³√x。
28. 試討論 f(x) = x⁻³ 的遞增、遞減性。
解答：
- 函數 f(x) = 1/x³。其定義域為所有實數 x ≠ 0。
- 使用導數來判斷單調性： f’(x) = d/dx (x⁻³) = -3x⁻⁴ = -3 / x⁴
- 分析 f’(x) 的正負：
- x⁴ 總是正的 (對於所有 x ≠ 0)。
- 因此，f’(x) = -3 / (正數) 總是負的。
- 結論:
- 在區間 (-∞, 0) 上，f’(x) < 0，所以函數是遞減的。
- 在區間 (0, +∞) 上，f’(x) < 0，所以函數也是遞減的。 所以，f(x) = x⁻³ 在其整個定義域上都是遞減的。
29. 試討論 f(x) = 3.5ˣ 的遞增、遞減性。
解答：
- 這是一個指數函數 f(x) = aˣ，其中底數 a = 3.5。
- 判斷法則：
- 若 a > 1，則函數為遞增。
- 若 0 < a < 1，則函數為遞減。
- 因為底數 3.5 > 1，所以函數 f(x) = 3.5ˣ 在其整個定義域 (-∞, +∞) 上是嚴格遞增的。
或者，使用導數：
- f’(x) = d/dx (3.5ˣ) = 3.5ˣ * ln(3.5)。
- 因為 3.5 > 1，所以 ln(3.5) > 0。
- 3.5ˣ 總是正的。
- 因此，f’(x) = (正數) * (正數) > 0。
- 因為導數恆為正，所以函數是嚴格遞增的。
30. 試討論 f(x) = [x] 的遞增、遞減性。 ( [x] 為高斯函數，表示不大於 x 的最大整數 )
解答：
f(x) = [x] 是一個階梯函數 (step function)。
- 函數行為:
- 當 0 ≤ x < 1, f(x) = 0
- 當 1 ≤ x < 2, f(x) = 1
- 當 2 ≤ x < 3, f(x) = 2
- …
- 當 n ≤ x < n+1, f(x) = n (n 為整數)
- 單調性分析:
- 在每個區間 [n, n+1) 內，函數值是常數，所以是非遞減的 (也是非遞增的)。
- 當 x 從一個區間跳到下一個區間時 (例如從 0.9 到 1.0)，函數值會增加或保持不變 (例如 f(0.9)=0, f(1.0)=1)。
- 正式地，如果取任意 x₁ < x₂，則 [x₁] ≤ [x₂]。例如，x₁=1.5, x₂=3.2，則 [1.5]=1, [3.2]=3，有 1 ≤ 3。例如，x₁=1.5, x₂=1.8，則 [1.5]=1, [1.8]=1，有 1 ≤ 1。
- 因為對於所有 x₁ < x₂，都有 f(x₁) ≤ f(x₂)，所以 f(x) = [x] 在其整個定義域上是非遞減函數 (non-decreasing) 或稱為 廣義遞增函數。它不是嚴格遞增的，因為在某些區間內函數值不變。
31. 若 f(x) = { 5x, x≠1; 3, x=1 }，且 g(x)=x²，試求 lim(x→1) f(g(x)) 與 f(lim(x→1) g(x))。
解答：
1. 求 lim(x→1) f(g(x))
- f(g(x)) = f(x²)
- 當 x → 1 時，x ≠ 1，但 x² → 1。
- 我們要看 f 的輸入值 g(x) = x² 的情況。
- 當 x → 1 時，x² → 1 且 x² ≠ 1 (例如 x=1.001, x²=1.002001)。
- 因此，我們使用 f(y) 中 y≠1 的定義，即 f(y) = 5y。
- lim(x→1) f(g(x)) = lim(x→1) f(x²) = lim(x→1) 5(x²) = 5(1)² = 5
2. 求 f(lim(x→1) g(x))
- Step 1: 計算內部極限。
- lim(x→1) g(x) = lim(x→1) x² = 1² = 1
- Step 2: 將極限結果代入 f(x)。
- f(lim(x→1) g(x)) = f(1)
- 根據 f(x) 的定義，當 x=1 時，f(1) = 3。
- 所以，f(lim(x→1) g(x)) = 3
結論: lim(x→1) f(g(x)) = 5，而 f(lim(x→1) g(x)) = 3。兩者不相等，這是因為 f(x) 在 x=1 處不連續。
32. 試論 f(x) = |2x - 3| 在 x = 3/2 處的連續性與可微性。
解答：
1. 連續性 (Continuity) 要判斷在 x = 3/2 的連續性，需滿足三個條件：
- ① f(3/2) 有定義: f(3/2) = |2(3/2) - 3| = |3 - 3| = |0| = 0。有定義。
- ② lim(x→3/2) f(x) 存在:
- 右極限 (x→3/2⁺): f(x) = 2x - 3。lim(x→3/2⁺) (2x - 3) = 2(3/2) - 3 = 0。
- 左極限 (x→3/2⁻): f(x) = -(2x - 3) = 3 - 2x。lim(x→3/2⁻) (3 - 2x) = 3 - 2(3/2) = 0。
- 因為左極限 = 右極限 = 0，所以 lim(x→3/2) f(x) = 0。
- ③ lim(x→3/2) f(x) = f(3/2):
- 0 = 0。條件滿足。
結論: 因為三個條件都滿足，所以 f(x) 在 x = 3/2 處是連續的。
2. 可微性 (Differentiability) 要判斷可微性，需檢查在 x = 3/2 處的導數是否存在，即左導數是否等於右導數。 f(x) = { 2x - 3, if x ≥ 3/2; 3 - 2x, if x < 3/2 } f’(x) = { 2, if x > 3/2; -2, if x < 3/2 }
- 右導數 (f’₊(3/2)): lim(h→0⁺) [f(3/2+h) - f(3/2)] / h = lim(h→0⁺) |2(3/2+h)-3| / h = lim(h→0⁺) |2h| / h = lim(h→0⁺) 2h / h = 2
- 左導數 (f’₋(3/2)): lim(h→0⁻) [f(3/2+h) - f(3/2)] / h = lim(h→0⁻) |2(3/2+h)-3| / h = lim(h→0⁻) |2h| / h = lim(h→0⁻) -2h / h = -2
結論: 因為左導數 (-2) ≠ 右導數 (2)，所以 f(x) 在 x = 3/2 處不可微。圖形在該點有一個尖角。
33. f(x) = -x⁴，試判斷 f(x) 為奇函數或偶函數。
解答：
- 奇函數檢驗: f(-x) = -f(x) ?
- 偶函數檢驗: f(-x) = f(x) ?
計算 f(-x):
- f(-x) = -(-x)⁴ = -(x⁴)
比較 f(-x) 與 f(x):
- f(x) = -x⁴
- f(-x) = -x⁴
- 因為 f(-x) = f(x)，所以 f(x) = -x⁴ 是一個偶函數。
34. f(x) = -x⁴，試判斷 f(x) 為幾次齊次函數。
解答：
齊次函數 (Homogeneous Function) 的定義是：如果存在一個常數 k，使得對於任意 t > 0，都有 f(tx) = t^k * f(x)，則 f(x) 是一個 k 次齊次函數。
- 計算 f(tx): f(tx) = -(tx)⁴ = -t⁴x⁴
- 比較 f(tx) 與 t^k * f(x): f(tx) = -t⁴x⁴ t^k * f(x) = t^k * (-x⁴) = -t^k * x⁴
- 令兩者相等： -t⁴x⁴ = -t^k * x⁴ 可得 k = 4。
結論: f(x) = -x⁴ 是四次齊次函數。
35. 利用 Excel 程式 (Black-Scholes) 來驗證歐式買權及歐式賣權價格為股價及執行價的一階齊次函數。參數設定 r = 0.1 (無風險利率), q = 0.05 (股利率), T = 1 年 (到期期限), σ = 0.3 (波動率)，股價及其執行價如下：…
解答：
此題要求驗證 Black-Scholes-Merton (BSM) 模型的價格具有一階齊次性。 一階齊次性定義: C(λS, λK) = λC(S, K) 和 P(λS, λK) = λP(S, K)。 我們使用 BSM 公式來計算並驗證。
BSM 公式:
- C = Se⁻qT N(d₁) - Ke⁻rT N(d₂)
- P = Ke⁻rT N(-d₂) - Se⁻qT N(-d₁)
- d₁ = [ln(S/K) + (r - q + σ²/2)T] / (σ√T)
- d₂ = d₁ - σ√T
- 參數: r=0.1, q=0.05, T=1, σ=0.3
- (r - q + σ²/2) = (0.1 - 0.05 + 0.3²/2) = 0.05 + 0.045 = 0.095
- σ√T = 0.3
(1) S = 40, X = 40 (應為 K)
- d₁ = [ln(40/40) + 0.095] / 0.3 = 0.095 / 0.3 ≈ 0.3167
- d₂ = 0.3167 - 0.3 = 0.0167
- N(d₁) ≈ N(0.32) ≈ 0.6255, N(d₂) ≈ N(0.02) ≈ 0.5080
- N(-d₁) ≈ 0.3745, N(-d₂) ≈ 0.4920
- C ≈ 40e⁻⁰.⁰⁵(0.6255) - 40e⁻⁰.¹(0.5080) = 40(0.9512)(0.6255) - 40(0.9048)(0.5080) ≈ 23.79 - 18.38 = 5.41
- P ≈ 40e⁻⁰.¹(0.4920) - 40e⁻⁰.⁰⁵(0.3745) = 40(0.9048)(0.4920) - 40(0.9512)(0.3745) ≈ 17.81 - 14.25 = 3.56
(2) S = 60, X = 60 (應為 K)
- d₁, d₂ 與 (1) 相同。
- C = 60e⁻⁰.⁰⁵ N(d₁) - 60e⁻⁰.¹ N(d₂) = 1.5 * (40e⁻⁰.⁰⁵ N(d₁) - 40e⁻⁰.¹ N(d₂)) = 1.5 * 5.41 = 8.12
- P = 1.5 * 3.56 = 5.34
- 驗證: λ = 60/40 = 1.5。C(60,60) = 1.5 * C(40,40)，P(60,60) = 1.5 * P(40,40)。齊次性成立。
(3) S = 80, X = 80 (應為 K)
- d₁, d₂ 與 (1) 相同。
- C = 80e⁻⁰.⁰⁵ N(d₁) - 80e⁻⁰.¹ N(d₂) = 2 * (40e⁻⁰.⁰⁵ N(d₁) - 40e⁻⁰.¹ N(d₂)) = 2 * 5.41 = 10.82
- P = 2 * 3.56 = 7.12
- 驗證: λ = 80/40 = 2。C(80,80) = 2 * C(40,40)，P(80,80) = 2 * P(40,40)。齊次性成立。
理論證明: 當 S 和 K 都乘以 λ 時，d₁ 中的 ln(λS/λK) = ln(S/K) 不變，所以 d₁ 和 d₂ 都不變，N(d₁) 和 N(d₂) 也不變。 C(λS, λK) = (λS)e⁻qT N(d₁) - (λK)e⁻rT N(d₂) = λ(Se⁻qT N(d₁) - Ke⁻rT N(d₂)) = λC(S, K)。 同理 P(λS, λK) = λP(S, K)。因此 BSM 價格是 S 和 K 的一階齊次函數。
36 & 37. 假設期初投資金額為 2000 元，第一年的報酬率為 30%，第二年的報酬率為 20%，閒置資金將存在銀行可獲得 5% 報酬率，銀行借款利率為 8%，分別以本金固定策略和購買持有策略進行投資，何者的二年獲利較高？ (題目 36 和 37 內容完全相同，可能為印刷錯誤。此處合併為一題作答。)
- 本金固定策略 (Constant-Mix Strategy): 每年年底將總資產重新平衡，使得風險資產（股票）的價值始終等於初始本金 2000 元。
- 購買持有策略 (Buy-and-Hold Strategy): 初始投入 2000 元後，不再進行任何買賣。
計算過程:
- 初始狀態 (t=0):
- 股票 = 2000 元
- 現金 = 0 元
- 總資產 = 2000 元
購買持有策略 (Buy-and-Hold):
- 第一年末 (t=1):
- 股票價值 = 2000 * (1 + 30%) = 2600 元
- 總資產 = 2600 元
- 第二年末 (t=2):
- 股票價值 = 2600 * (1 + 20%) = 3120 元
- 總資產 = 3120 元
- 二年總獲利: 3120 - 2000 = 1120 元
- 平均年報酬率: (3120/2000)^(1/2) - 1 = 1.56^(1/2) - 1 ≈ 1.249 - 1 = 24.9%
本金固定策略 (Constant-Mix):
- 第一年末 (t=1):
- 股票價值 = 2000 * (1 + 30%) = 2600 元
- 獲利 = 600 元
- 再平衡: 將股票價值調整回 2000 元。賣出 600 元股票，存入銀行。
- 此時狀態: 股票 = 2000 元，銀行存款 = 600 元。總資產 = 2600 元。
- 第二年末 (t=2):
- 股票價值 = 2000 * (1 + 20%) = 2400 元
- 銀行存款價值 = 600 * (1 + 5%) = 630 元
- 總資產 = 2400 + 630 = 3030 元
- 二年總獲利: 3030 - 2000 = 1030 元
- 平均年報酬率: (3030/2000)^(1/2) - 1 = 1.515^(1/2) - 1 ≈ 1.2308 - 1 = 23.08%
結論: 在這個情境下（市場連續兩年上漲），購買持有策略的獲利 (1120元) 高於本金固定策略 (1030元)。
38. 設 f(x) 為整係數多項式，若 f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e，且 |a+1| + |b+2| + |c| + 2|e| = 2，則 deg(f(x))=?
解答：
-
f(x) 是整係數多項式，表示 a, b, c, d, e 都是整數。
-
絕對值
|k|是非負整數。 -
方程式為
|a+1| + |b+2| + |c| + 2|e| = 2。 -
因為 a,b,c,e 是整數，所以
|a+1|,|b+2|,|c|,|e|都是非負整數。 -
分析方程式的可能整數解：
2|e|這一項必須是偶數 (0 或 2)。- 情況一: 2|e| = 2
- 這意味著 |e| = 1。
- 則
|a+1| + |b+2| + |c| = 0。 - 要使三個絕對值的和為 0，每一項都必須是 0。
- |a+1| = 0 => a = -1
- |b+2| = 0 => b = -2
- |c| = 0 => c = 0
- 情況二: 2|e| = 0
- 這意味著 e = 0。
- 則
|a+1| + |b+2| + |c| = 2。 - 這有多种組合，例如 |a+1|=2, |b+2|=0, |c|=0，或 |a+1|=1, |b+2|=1, |c|=0 等。
-
題目要求多項式的次數
deg(f(x))，即最高次項的係數不為零。最高次項是ax⁴，其係數是a。 -
在所有可能的解中，我們需要確定
a的值。- 在情況一中，我們確定地得到 a = -1。
- 在情況二中，如果 |a+1|=2，則 a+1=2 或 a+1=-2，所以 a=1 或 a=-3。如果 |a+1|=1，則 a=0 或 a=-2。如果 |a+1|=0，則 a=-1。
-
無論是哪種情況，
a的值 (例如 -1, 1, -3, -2, 0) 都有可能。但是，如果a=0，則多項式的次數會小於 4。 -
讓我們重新審視題目是否有隱含條件。通常這類題目會有唯一解。 如果我們假設題目暗指
a是最高次項係數，所以a不能為 0。- 在情況一中，a = -1 ≠ 0。
- 在情況二中，a 可能為 0 (例如 |a+1|=1, |b+2|=1, |c|=0 的一種解)。
- 然而，問題的設計很可能導向一個確定的次數。最簡單和最確定的解來自情況一，它給出了一組唯一的 a, b, c 值。
a = -1,b = -2,c = 0。- 既然 a = -1 ≠ 0，那麼多項式的最高次項
ax⁴存在。
結論: 多項式的次數由最高次非零係數決定。在這裡是 ax⁴，且我們確定 a 可以是 -1（以及其他非零值）。因此，deg(f(x)) = 4。
39. 若方程式 x⁴ - 2x³ - 6x² + 22x - 15 = 0 有一根 2-i，求此方程式的所有根。
解答：
-
根據實係數多項式虛根共軛定理，如果
2-i是一個根，那麼它的共軛2+i也必然是另一個根。 -
我們可以由這兩個根構成一個二次因式： (x - (2-i))(x - (2+i)) = ((x-2) + i)((x-2) - i) = (x-2)² - i² = x² - 4x + 4 - (-1) = x² - 4x + 5
-
現在，我們用多項式長除法，將原式除以這個二次因式，來找到剩下的因式。 (x⁴ - 2x³ - 6x² + 22x - 15) / (x² - 4x + 5)
x² + 2x - 3 ________________ x²-4x+5 | x⁴ - 2x³ - 6x² + 22x - 15 -(x⁴ - 4x³ + 5x²) ________________ 2x³ - 11x² + 22x -(2x³ - 8x² + 10x) _________________ -3x² + 12x - 15 -(-3x² + 12x - 15) _________________ 0 -
除法結果是
x² + 2x - 3。現在我們解這個二次方程式來找剩下的兩個根。 x² + 2x - 3 = 0 (x + 3)(x - 1) = 0 x = -3 或 x = 1
結論: 此方程式的所有四個根是 2-i, 2+i, 1, -3。
40. 試分解方程式： f(x) = x³ - x² - x + 1, g(x) = 2x³ + 3x² - 5x - 6, h(x) = 3x³ + 7x² + 5x + 1 (題目應為「試分解因式」)
解答：
我們使用有理根檢驗法 (牛頓法) 來找可能的有理根 p/q。
1. f(x) = x³ - x² - x + 1
- 分組因式分解法: f(x) = (x³ - x²) - (x - 1) = x²(x - 1) - 1(x - 1) = (x² - 1)(x - 1) = (x - 1)(x + 1)(x - 1) = (x - 1)²(x + 1)
2. g(x) = 2x³ + 3x² - 5x - 6
- 有理根檢驗: 可能的有理根為 ±(1, 2, 3, 6) / ±(1, 2) = ±(1, 2, 3, 6, 1/2, 3/2)
- 試根：
- g(1) = 2+3-5-6 ≠ 0
- g(-1) = -2+3+5-6 = 0。所以 (x+1) 是一個因式。
- g(-2) = 2(-8)+3(4)-5(-2)-6 = -16+12+10-6 = 0。所以 (x+2) 是一個因式。
- 既然找到了兩個線性因式 (x+1) 和 (x+2)，它們的乘積 (x+1)(x+2) = x² + 3x + 2 也會是 g(x) 的因式。
- 我們可以推斷第三個因式是 (2x - 3) 來匹配首項 (2x³) 和常數項 (-6)。
- 驗證: (x+1)(x+2)(2x-3) = (x²+3x+2)(2x-3) = 2x³-3x²+6x²-9x+4x-6 = 2x³+3x²-5x-6。正確。
- 分解結果: (x + 1)(x + 2)(2x - 3)
3. h(x) = 3x³ + 7x² + 5x + 1
- 有理根檢驗: 可能的有理根為 ±1 / ±(1, 3) = ±(1, 1/3)
- 試根：
- h(1) = 3+7+5+1 ≠ 0
- h(-1) = -3+7-5+1 = 0。所以 (x+1) 是一個因式。
- 使用綜合除法將 h(x) 除以 (x+1):
-1 | 3 7 5 1 | -3 -4 -1 ---------------- 3 4 1 0 - 商式為 3x² + 4x + 1。
- 分解這個二次式： 3x² + 4x + 1 = (3x + 1)(x + 1)
- 合併所有因式： h(x) = (x + 1)(3x + 1)(x + 1) = (x + 1)²(3x + 1)