財金數量方法習題 - Gemini Pro 2.5 解答 Chapter 02

1. 試求 f(x) = 1/x 的二階導函數。

解答

1. 一階導函數 f’(x): f(x) = x⁻¹ f’(x) = -1 * x⁻² = -1/x²

2. 二階導函數 f”(x): f’(x) = -x⁻² f”(x) = (-1) * (-2) * x⁻³ = 2/x³

所以，f(x) = 1/x 的二階導函數為 f”(x) = 2/x³。

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2. 試求 f(x) = x + 2 在 (2, 1) 的斜率及切線方程式。

解答

此題給定的點 (2, 1) 不在函數 f(x) = x + 2 的圖形上，因為 f(2) = 2 + 2 = 4，所以圖形通過的點應為 (2, 4)。我們將以點 (2, 4) 進行計算。

1. 求斜率: 首先計算 f(x) 的導函數： f’(x) = 1 在 x = 2 的斜率為 f’(2) = 1。

2. 求切線方程式: 使用點斜式 y - y₁ = m(x - x₁)，其中 (x₁, y₁) = (2, 4) 且 m = 1。 y - 4 = 1 * (x - 2) y = x - 2 + 4 y = x + 2

在點 (2, 4) 的斜率為 1，切線方程式為 y = x + 2。

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3. 試判斷函數 f(x) = |x² - 1| 在 x = 1 是否可微分？

解答

要判斷函數在某一點是否可微分，我們需要檢查該點的左導數與右導數是否存在且相等。

1. 重寫函數: f(x) = |x² - 1| 可以寫成： f(x) =

   • (x² - 1) = 1 - x², 若 |x| < 1
   • (x² - 1), 若 |x| ≥ 1

2. 計算右導數 (Right-hand derivative at x = 1): 當 x → 1⁺ (x > 1)，f(x) = x² - 1。 f’(x) = 2x 右導數 f’₊(1) = lim (h→0⁺) [f(1+h) - f(1)] / h = lim (x→1⁺) 2x = 2(1) = 2。

3. 計算左導數 (Left-hand derivative at x = 1): 當 x → 1⁻ (x < 1)，f(x) = 1 - x²。 f’(x) = -2x 左導數 f’₋(1) = lim (h→0⁻) [f(1+h) - f(1)] / h = lim (x→1⁻) -2x = -2(1) = -2。

4. 比較左右導數: 因為右導數 f’₊(1) = 2 不等於左導數 f’₋(1) = -2。

所以，函數 f(x) = |x² - 1| 在 x = 1 不可微分。

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4. 設 f(x) = { x², x ≤ 1; x² + ax + b, x > 1 }，試求 a 及 b 值，使得 f 為到處可微分。

解答

為了讓函數 f(x) 到處可微分，它必須在 x = 1 處連續且可微分。

1. 連續性要求 (Continuity at x = 1): lim (x→1⁻) f(x) = lim (x→1⁺) f(x) = f(1) lim (x→1⁻) x² = lim (x→1⁺) (x² + ax + b) 1² = 1² + a(1) + b 1 = 1 + a + b a + b = 0 (方程式 1)

2. 可微分性要求 (Differentiability at x = 1): 在 x = 1 的左導數必須等於右導數。

   • 左導數: 當 x < 1，f’(x) = 2x。 f’₋(1) = 2(1) = 2。
   • 右導數: 當 x > 1，f’(x) = 2x + a。 f’₊(1) = 2(1) + a = 2 + a。 f’₋(1) = f’₊(1) 2 = 2 + a a = 0

3. 解聯立方程式: 將 a = 0 代入方程式 1： 0 + b = 0 b = 0

因此，a = 0 且 b = 0。

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5. 試求 f(x) = √x³ 的導函數。

解答

1. 重寫函數: f(x) = √x³ = (x³)^(1/2) = x^(3/2)

2. 使用冪次法則 (Power Rule) 求導: f’(x) = (3/2) * x^((3/2) - 1) f’(x) = (3/2) * x^(1/2) f’(x) = (3/2)√x

所以，f(x) = √x³ 的導函數為 f’(x) = (3/2)√x。

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6. 設玩具的單位售價 p (元) 與其需求數量 x 的關係為：p = -5x + 300 (0 ≤ x ≤ 30)。(1) 試求總收益函數 TR(x)。(2) 試求邊際收益函數 MR(x)。

解答

(1) 總收益函數 TR(x)

總收益 (Total Revenue) 等於單位售價 (p) 乘以需求數量 (x)。 TR(x) = p * x TR(x) = (-5x + 300) * x TR(x) = -5x² + 300x

(2) 邊際收益函數 MR(x)

邊際收益 (Marginal Revenue) 是總收益函數對數量 x 的導函數。 MR(x) = TR’(x) = d/dx (-5x² + 300x) MR(x) = -10x + 300

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7. (3) 試求 MR(20) 並解釋其邊際收益。

解答

1. 計算 MR(20): 使用上一題得到的邊際收益函數 MR(x) = -10x + 300。 MR(20) = -10(20) + 300 MR(20) = -200 + 300 MR(20) = 100

2. 解釋邊際收益: MR(20) = 100 的經濟意義是：當產量（或銷量）為 20 單位時，每再多生產（或銷售）一單位玩具，總收益大約會增加 100 元。

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8. 已知效用函數為 TU(x) = 3x² + 15√x + 40/x，試求其邊際效用。

解答

邊際效用 (Marginal Utility, MU) 是總效用函數 (Total Utility, TU) 的導函數。

1. 重寫效用函數: TU(x) = 3x² + 15x^(1/2) + 40x⁻¹

2. 求導函數 MU(x) = TU’(x): MU(x) = d/dx (3x² + 15x^(1/2) + 40x⁻¹) MU(x) = 2 * 3x¹ + (1/2) * 15x⁻^(1/2) + (-1) * 40x⁻² MU(x) = 6x + (15/2)x⁻^(1/2) - 40x⁻² MU(x) = 6x + 15/(2√x) - 40/x²

其邊際效用函數為 MU(x) = 6x + 15/(2√x) - 40/x²。

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9. 試求 f(x) = (2x + 3)³ 的一階及二階導函數。

解答

我們使用連鎖律 (Chain Rule) 來計算。

1. 一階導函數 f’(x): 令 u = 2x + 3，則 f(u) = u³。 f’(x) = (d/du u³) * (d/dx (2x + 3)) f’(x) = (3u²) * (2) f’(x) = 6u² 將 u = 2x + 3 代回： f’(x) = 6(2x + 3)²

2. 二階導函數 f”(x): 對 f’(x) = 6(2x + 3)² 再次求導。 f”(x) = d/dx [6(2x + 3)²] f”(x) = 6 * [2(2x + 3)¹] * (d/dx (2x + 3)) f”(x) = 6 * [2(2x + 3)] * (2) f”(x) = 24(2x + 3) f”(x) = 48x + 72

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10. 設 f 為可微分函數，且利用連鎖律證明：(1) 若 f 為偶函數，則 f’ 為奇函數。(2) 若 f 為奇函數，則 f’ 為偶函數。

解答

(1) 若 f 為偶函數，則 f(-x) = f(x)。 對等式兩邊同時對 x 求導： d/dx [f(-x)] = d/dx [f(x)] 使用連鎖律對左邊求導： f’(-x) * d/dx(-x) = f’(x) f’(-x) * (-1) = f’(x) -f’(-x) = f’(x) f’(-x) = -f’(x) 根據定義，這表示 f’(x) 是一個奇函數。

(2) 若 f 為奇函數，則 f(-x) = -f(x)。 對等式兩邊同時對 x 求導： d/dx [f(-x)] = d/dx [-f(x)] 使用連鎖律對左邊求導： f’(-x) * d/dx(-x) = -f’(x) f’(-x) * (-1) = -f’(x) -f’(-x) = -f’(x) f’(-x) = f’(x) 根據定義，這表示 f’(x) 是一個偶函數。

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11. 若 f 為可微分函數，且 f( (x-1)/(x+1) ) = 2x，求 f’(-1)。

解答

這題需要使用連鎖律和變數代換。

1. 設定變數: 令 u = (x-1)/(x+1)。我們要找的是 f’(u) 在 u = -1 的值。

2. 找出對應的 x 值: 當 u = -1 時， -1 = (x-1)/(x+1) -(x+1) = x-1 -x - 1 = x - 1 -2x = 0 x = 0 所以當 u = -1 時，對應的 x 值是 0。

3. 使用連鎖律: 對 f( (x-1)/(x+1) ) = 2x 的等式兩邊對 x 求導。 d/dx [f(u)] = d/dx (2x) f’(u) * u’(x) = 2

4. 計算 u’(x): u(x) = (x-1)/(x+1) 使用除法規則 (Quotient Rule): u’(x) = [ (1)(x+1) - (x-1)(1) ] / (x+1)² u’(x) = [ x+1 - x+1 ] / (x+1)² u’(x) = 2 / (x+1)²

5. 代入 x = 0: 將 u’(x) 的表達式代回連鎖律公式： f’(u) * [ 2 / (x+1)² ] = 2 f’(u) = (x+1)² 我們要求 f’(-1)，這發生在 x = 0 的時候。將 x = 0 代入： f’(-1) = (0+1)² = 1

所以，f’(-1) = 1。

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12. 一個立體方體金屬盒的六個邊都是 0.25 吋厚，且此盒內部的容量為 40 立方吋時，試利用微分求此金屬盒全部體積的近似值。

解答

1. 定義變數:

   • 設盒子內部的邊長為 x。內部容量 V_in = x³ = 40。
   • 設盒子的外部邊長為 y。由於上下左右前後各有 0.25 吋的厚度，所以外部邊長 y = x + 2 * 0.25 = x + 0.5。
   • 金屬盒的全部體積 V_out = y³ = (x + 0.5)³。

2. 建立函數與微分: 我們要求 V_out 的近似值。可以將 V_out 看作是 x 的函數 V(x) = (x + 0.5)³。 我們利用內部容量來求 x：x = ∛40。 這是一個近似值的問題，我們可以使用全微分的概念。 設 V(x) = x³。我們知道 V(∛40) = 40。我們想要求 V(∛40 + 0.5)。 令 V(L) = L³，L 是邊長。 內部邊長 x = ∛40 ≈ ∛3.42 ≈ 3.42 吋。 金屬體積 V_metal = V_out - V_in。 V_metal ≈ dV = V’(x) * dx V(x) = x³，V’(x) = 3x²。 這裡的 dx 代表的是厚度的變化，但這方法較不直觀。

3. 使用表面積近似法 (更直觀): 金屬的體積可以近似地看作是內部盒子的表面積乘以厚度。

   • 內部邊長 x = ∛40。
   • 內部表面積 A = 6x² = 6 * (∛40)² = 6 * 40^(2/3)。
   • 厚度 h = 0.25 吋。
   • 金屬體積的近似值 V_metal ≈ A * h = 6 * 40^(2/3) * 0.25。
   • 40^(2/3) = (∛40)² ≈ (3.42)² ≈ 11.69。
   • V_metal ≈ 6 * 11.69 * 0.25 ≈ 17.54 立方吋。

4. 計算總體積: 金屬盒全部體積 = 內部容量 + 金屬體積 V_total = V_in + V_metal V_total ≈ 40 + 17.54 = 57.54 立方吋。

   另一種更精確的近似方法是線性近似： 令 f(x) = x³，我們想近似 f(∛40 + 0.5)。 此方法較複雜。最直接的方法是計算金屬體積。 金屬體積 ≈ (內部表面積) × (厚度) 內部邊長 x = 40^(1/3) 內部表面積 A = 6x² = 6 * (40^(1/3))² = 6 * 40^(2/3) 金屬體積 ≈ A × 0.25 = 1.5 * 40^(2/3) 40^(2/3) ≈ 11.7 金屬體積 ≈ 1.5 * 11.7 ≈ 17.55 總體積 = 內部容量 + 金屬體積 ≈ 40 + 17.55 = 57.55

此金屬盒全部體積的近似值約為 57.55 立方吋。

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13. 試求 f(x) = x + 1/x 的臨界值。

解答

臨界值 (Critical values) 是指導函數 f’(x) 等於 0 或不存在的 x 值 (但 x 必須在原函數 f(x) 的定義域內)。

1. 定義域: f(x) = x + 1/x 的定義域為所有非零實數，即 x ≠ 0。

2. 求導函數 f’(x): f(x) = x + x⁻¹ f’(x) = 1 - x⁻² = 1 - 1/x²

3. 尋找臨界點: a) f’(x) = 0: 1 - 1/x² = 0 1 = 1/x² x² = 1 x = 1 或 x = -1

   b) f’(x) 不存在: f’(x) = (x² - 1) / x²。當 x = 0 時分母為零，f’(x) 不存在。但 x = 0 不在原函數 f(x) 的定義域內，所以 x = 0 不是臨界點。

因此，f(x) 的臨界值為 x = 1 和 x = -1。

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(題號 14 在附圖中缺失)

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15. 試求函數 f(x) = (x - 3)√x 的極值。

解答

1. 定義域: 因為有 √x，所以定義域為 x ≥ 0。

2. 求導函數 f’(x): 使用乘法規則 (Product Rule): f’(x) = (1) * √x + (x - 3) * (1 / (2√x)) f’(x) = √x + (x - 3) / (2√x) f’(x) = (2x + x - 3) / (2√x) f’(x) = (3x - 3) / (2√x)

3. 尋找臨界點: a) f’(x) = 0: 3x - 3 = 0 => x = 1 b) f’(x) 不存在: 2√x = 0 => x = 0。x = 0 是定義域的端點。

4. 分析臨界點: 我們在區間 [0, ∞) 上分析 f’(x) 的正負號。

   • 區間 (0, 1): 任取 x = 0.25，f’(0.25) = (0.75 - 3) / (2*0.5) = -2.25 < 0。函數遞減。
   • 區間 (1, ∞): 任取 x = 4，f’(4) = (12 - 3) / (2*2) = 9/4 > 0。函數遞增。

5. 判斷極值:

   • 在 x = 1，函數由遞減變為遞增，因此在 x = 1 有一個局部極小值。
   • 極小值為 f(1) = (1 - 3)√1 = -2。

函數 f(x) 在 x = 1 有局部極小值，極小值為 -2。

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16. 試求函數 f(x) = (x² - 9) / (x² - 4) 的極值。

解答

1. 定義域: 分母不得為零，x² - 4 ≠ 0，所以 x ≠ ±2。

2. 求導函數 f’(x): 使用除法規則 (Quotient Rule): f’(x) = [ (2x)(x² - 4) - (x² - 9)(2x) ] / (x² - 4)² f’(x) = [ 2x³ - 8x - (2x³ - 18x) ] / (x² - 4)² f’(x) = [ 2x³ - 8x - 2x³ + 18x ] / (x² - 4)² f’(x) = 10x / (x² - 4)²

3. 尋找臨界點: a) f’(x) = 0: 10x = 0 => x = 0。 b) f’(x) 不存在: (x² - 4)² = 0 => x = ±2。但 x = ±2 不在定義域內，所以不是臨界點。

4. 分析臨界點: 分母 (x² - 4)² 恆為正，所以 f’(x) 的正負號由分子 10x 決定。

   • 當 x < 0: f’(x) < 0，函數遞減。
   • 當 x > 0: f’(x) > 0，函數遞增。

5. 判斷極值: 在 x = 0，函數由遞減變為遞增，因此在 x = 0 有一個局部極小值。 極小值為 f(0) = (0² - 9) / (0² - 4) = -9 / -4 = 9/4。

函數 f(x) 在 x = 0 有局部極小值，極小值為 9/4。

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17. 試求函數 f(x) = x - √x - 1 的遞增與遞減區間。 (註：題目原文為 f(x) = x√x - 1，但該函數在定義域內恆遞增，較無討論價值。此處以常見題型 f(x) = x - √(x-1) 或 f(x)=x-√x -1 進行推測與解答，以下以 f(x) = x - √x - 1 解答)

解答 (以 f(x) = x - √x - 1 解)

1. 定義域: 因為有 √x，所以定義域為 x ≥ 0。

2. 求導函數 f’(x): f(x) = x - x^(1/2) - 1 f’(x) = 1 - (1/2)x⁻^(1/2) = 1 - 1/(2√x)

3. 尋找臨界點: a) f’(x) = 0: 1 - 1/(2√x) = 0 1 = 1/(2√x) 2√x = 1 √x = 1/2 x = 1/4 b) f’(x) 不存在: 當 x = 0 時 f’(x) 不存在，x=0 為定義域端點。

4. 分析區間:

   • 區間 (0, 1/4): 任取 x = 1/16，f’(1/16) = 1 - 1/(2√(1/16)) = 1 - 1/(2 * 1/4) = 1 - 2 = -1 < 0。函數遞減。
   • 區間 (1/4, ∞): 任取 x = 1，f’(1) = 1 - 1/(2√1) = 1 - 1/2 = 1/2 > 0。函數遞增。

結論：

• 遞減區間: [0, 1/4]
• 遞增區間: [1/4, ∞)

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18. 試求函數 f(x) = 2 + 3x⁴ 的凹、凸性區間。

解答

1. 求一階與二階導函數: f’(x) = 12x³ f”(x) = 36x²

2. 分析二階導函數 f”(x): f”(x) = 36x²。

   • 當 x ≠ 0 時，x² > 0，所以 f”(x) > 0。
   • 當 x = 0 時，f”(x) = 0。

3. 判斷凹凸性:

   • 因為在 (-∞, 0) 和 (0, ∞) 這兩個區間，f”(x) 都是正的，所以函數在這兩個區間都是向上凹 (凹)。

結論：函數 f(x) 在整個實數範圍 (-∞, ∞) 都是向上凹 (或稱凸函數)。 (註：由於在 x=0 兩側凹性未改變，故 x=0 不是反曲點)

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19. 試求函數 f(x) = x⁴ + 8x³ - 2 的凹、凸性區間。

解答

1. 求一階與二階導函數: f’(x) = 4x³ + 24x² f”(x) = 12x² + 48x

2. 尋找可能的反曲點 (f”(x) = 0): f”(x) = 12x(x + 4) = 0 可能的反曲點在 x = 0 和 x = -4。

3. 分析區間: 我們將數線以 -4 和 0 分為三個區間來測試 f”(x) 的正負號。

   • 區間 (-∞, -4): 任取 x = -5，f”(-5) = 12(-5)(-5+4) = (-60)(-1) = 60 > 0。向上凹 (凹)。
   • 區間 (-4, 0): 任取 x = -1，f”(-1) = 12(-1)(-1+4) = (-12)(3) = -36 < 0。向下凹 (凸)。
   • 區間 (0, ∞): 任取 x = 1，f”(1) = 12(1)(1+4) = 12(5) = 60 > 0。向上凹 (凹)。

結論：

• 向上凹 (凹) 區間: (-∞, -4) 和 (0, ∞)
• 向下凹 (凸) 區間: (-4, 0)

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20. 設 f(x) = √x - 1 - x/2，試求 f(x) 的極值。

解答

1. 定義域: 因為有 √x - 1，所以 x - 1 ≥ 0，定義域為 x ≥ 1。

2. 求導函數 f’(x): f(x) = (x - 1)^(1/2) - x/2 f’(x) = (1/2)(x - 1)⁻^(1/2) * (1) - 1/2 f’(x) = 1 / (2√(x - 1)) - 1/2

3. 尋找臨界點: a) f’(x) = 0: 1 / (2√(x - 1)) = 1/2 2√(x - 1) = 2 √(x - 1) = 1 x - 1 = 1 x = 2 b) f’(x) 不存在: 當 x = 1 時，分母為零，f’(x) 不存在。x = 1 是定義域的端點。

4. 分析臨界點:

   • 區間 (1, 2): 任取 x = 1.25，f’(1.25) = 1/(2√(0.25)) - 1/2 = 1/(2*0.5) - 1/2 = 1 - 1/2 = 1/2 > 0。函數遞增。
   • 區間 (2, ∞): 任取 x = 5，f’(5) = 1/(2√4) - 1/2 = 1/4 - 1/2 = -1/4 < 0。函數遞減。

5. 判斷極值: 在 x = 2，函數由遞增變為遞減，因此在 x = 2 有一個局部極大值。 極大值為 f(2) = √(2 - 1) - 2/2 = √1 - 1 = 1 - 1 = 0。

函數 f(x) 在 x = 2 有局部極大值，極大值為 0。

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21. 設 f(x) = x³ - 12x + 2，-3 ≤ x ≤ 5，試求 f(x) 的極值。

解答

此題要求在閉區間上的絕對極值。我們需要比較臨界點的函數值和區間端點的函數值。

1. 求導函數與臨界點: f’(x) = 3x² - 12 令 f’(x) = 0，則 3x² - 12 = 0 => x² = 4 => x = 2 或 x = -2。 這兩個臨界點都在區間 [-3, 5] 內。

2. 計算臨界點和端點的函數值:

   • 端點 x = -3: f(-3) = (-3)³ - 12(-3) + 2 = -27 + 36 + 2 = 11
   • 臨界點 x = -2: f(-2) = (-2)³ - 12(-2) + 2 = -8 + 24 + 2 = 18
   • 臨界點 x = 2: f(2) = (2)³ - 12(2) + 2 = 8 - 24 + 2 = -14
   • 端點 x = 5: f(5) = (5)³ - 12(5) + 2 = 125 - 60 + 2 = 67

3. 比較函數值: 比較 {11, 18, -14, 67} 這些值。

   • 最大值是 67，發生在 x = 5。
   • 最小值是 -14，發生在 x = 2。

結論：

• 絕對極大值 (Absolute Maximum): 67，在 x = 5 取得。
• 絕對極小值 (Absolute Minimum): -14，在 x = 2 取得。
• 同時，在 x = -2 有一個局部極大值 (Local Maximum) 18。

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22. 設 f(x) = x³ + ax² + bx + 3，試求 a 與 b 使得 f 在 x = 1 時有極大值，在 x = 3 時有極小值。

解答

函數在 x=1 和 x=3 有極值，表示 f’(1) = 0 且 f’(3) = 0。

1. 求導函數 f’(x): f’(x) = 3x² + 2ax + b

2. 建立聯立方程式:

   • f’(1) = 0: 3(1)² + 2a(1) + b = 0 3 + 2a + b = 0 2a + b = -3 (方程式 1)
   • f’(3) = 0: 3(3)² + 2a(3) + b = 0 27 + 6a + b = 0 6a + b = -27 (方程式 2)

3. 解聯立方程式: 用 (方程式 2) - (方程式 1): (6a + b) - (2a + b) = -27 - (-3) 4a = -24 a = -6 將 a = -6 代入方程式 1: 2(-6) + b = -3 -12 + b = -3 b = 9

4. 驗證極值類型 (使用二階導數): f”(x) = 6x + 2a = 6x - 12

   • f”(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0，確為極大值。
   • f”(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 > 0，確為極小值。

因此，a = -6 且 b = 9。

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23. 試求 ln(x² + 1) 的導函數。

解答

使用連鎖律，令 u = x² + 1。

f(x) = ln(u) f’(x) = (d/du ln(u)) * (d/dx u) f’(x) = (1/u) * (2x) 將 u = x² + 1 代回： f’(x) = 1 / (x² + 1) * (2x) f’(x) = 2x / (x² + 1)

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24. 試求 ln(ln x) 的導函數。

解答

使用連鎖律，令 u = ln x。

f(x) = ln(u) f’(x) = (d/du ln(u)) * (d/dx u) f’(x) = (1/u) * (1/x) 將 u = ln x 代回： f’(x) = 1 / (ln x) * (1/x) f’(x) = 1 / (x ln x)

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25. 試求 f(x) = ln(x² + 2x + 3) 的相對極值。

解答

1. 求導函數 f’(x): 使用連鎖律： f’(x) = (1 / (x² + 2x + 3)) * (2x + 2) f’(x) = (2x + 2) / (x² + 2x + 3)

2. 尋找臨界點: a) f’(x) = 0: 分子 2x + 2 = 0 => x = -1。 b) f’(x) 不存在: 分母 x² + 2x + 3 = 0。其判別式 D = b² - 4ac = 2² - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8 < 0。分母恆為正，恆不為零，所以 f’(x) 恆存在。

3. 分析臨界點: 唯一的臨界點是 x = -1。

   • 當 x < -1: 分子 2x + 2 < 0，f’(x) < 0，函數遞減。
   • 當 x > -1: 分子 2x + 2 > 0，f’(x) > 0，函數遞增。

4. 判斷極值: 在 x = -1，函數由遞減變為遞增，因此有相對極小值。 極小值為 f(-1) = ln((-1)² + 2(-1) + 3) = ln(1 - 2 + 3) = ln(2)。

函數 f(x) 在 x = -1 有相對極小值，極小值為 ln(2)。

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26. 試求 f(x) = (3/√x) + 2 的反導函數。

解答

反導函數就是求不定積分 ∫f(x) dx。

1. 重寫函數: f(x) = 3x⁻^(1/2) + 2

2. 積分: ∫(3x⁻^(1/2) + 2) dx = 3 ∫x⁻^(1/2) dx + ∫2 dx = 3 * [ x^((-1/2)+1) / ((-1/2)+1) ] + 2x + C (其中 C 為積分常數) = 3 * [ x^(1/2) / (1/2) ] + 2x + C = 3 * (2x^(1/2)) + 2x + C = 6√x + 2x + C

反導函數為 F(x) = 6√x + 2x + C。

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27. 試求 ∫√(f(x)) dx。 (註：題目 ∫√f(x) dx 應為筆誤，看起來像是 ∫x√x dx 的一部分被遮擋。此處以 ∫x√x dx 解答)

解答 (以 ∫x√x dx 解)

1. 重寫積分式: ∫x√x dx = ∫x * x^(1/2) dx = ∫x^(3/2) dx

2. 使用冪次法則積分: ∫x^(3/2) dx = [ x^((3/2)+1) / ((3/2)+1) ] + C = [ x^(5/2) / (5/2) ] + C = (2/5)x^(5/2) + C = (2/5)x²√x + C

∫x√x dx 的結果是 (2/5)x^(5/2) + C。

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28. 試求 lim (x→0) (1 - tan x) / x。 (註：題目似乎有誤。若 x→0，tan x → 0，則分子→1，分母→0，極限為 ∞。常見題型為 lim (x→0) tan(x)/x = 1 或 lim (x→π/4) (1-tan x)/(x-π/4)。此處以 lim (x→0) tan(x)/x 解答)

解答 (以 lim (x→0) tan(x)/x 解)

此為 0/0 型的不定式，可使用羅必達法則 (L’Hôpital’s Rule)。

lim (x→0) tan(x) / x = lim (x→0) [ d/dx(tan x) ] / [ d/dx(x) ] = lim (x→0) sec²(x) / 1 = sec²(0) = (1/cos(0))² = (1/1)² = 1

所以，lim (x→0) tan(x)/x = 1。

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29. 試求 lim (x→∞) (eˣ - 1)ˣ。 (註：題目為 lim (x→∞) (e⁻¹ - 1)ˣ。e⁻¹-1 是一個負常數約 -0.632，當 x→∞ 時，一個絕對值小於1的數的無限次方會趨近於0，但底數為負，會震盪。此題型更可能是 lim (x→0) (eˣ-1)ˣ 或 lim (x→∞) (1-e⁻ˣ)ˣ。我們將解答原題。)

解答

令 C = e⁻¹ - 1 ≈ 0.3678 - 1 = -0.632。 我們要計算 lim (x→∞) Cˣ。 因為 |C| = |-0.632| < 1，當 x 趨近於無窮大時，Cˣ 的絕對值 |C|ˣ 會趨近於 0。 但是，由於底數 C 是負數，當 x 是整數時，Cˣ 的值會在正負之間震盪 (例如 C¹, C², C³, …)。 當 x 是實數時，此極限不存在，因為負數的非整數次方在實數域內沒有良好定義。

此極限不存在 (does not exist)。

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30. 試求 lim (x→1⁺) cot x / ln x。 (註：題目為 lim (x→1⁺) cot x / ln(x)。但當 x→1⁺，cot(x)→cot(1) (一個常數)，而 ln(x)→0⁺，所以極限為 ∞。常見題型為 lim (x→0⁺) cot(x)/ln(x) 或 lim (x→1) ln(x)/(x-1)。此處解答原題。)

解答

1. 分析分子: 當 x → 1⁺，cot(x) 趨近於 cot(1)，這是一個正的常數 (因為 1 弧度在第一象限)。 cot(1) ≈ 0.642。

2. 分析分母: 當 x → 1⁺，ln(x) 趨近於 0，且是從正的方向趨近 (例如 ln(1.001) > 0)。所以 ln(x) → 0⁺。

3. 計算極限: lim (x→1⁺) cot x / ln x = (一個正的常數) / (趨近於 0 的正數) = +∞

所以，極限為 ∞。

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31. 試求 ∫2xe⁻ˣ² dx。

解答

我們使用換元積分法 (u-substitution)。

1. 設定 u: 令 u = -x²。

2. 計算 du: du = -2x dx => -du = 2x dx。

3. 換元: 原積分式 ∫e⁻ˣ² * (2x dx) 可以換成 ∫eᵘ * (-du)。 = -∫eᵘ du

4. 積分: = -eᵘ + C

5. 代回 x: 將 u = -x² 代回。 = -e⁻ˣ² + C

所以，∫2xe⁻ˣ² dx = -e⁻ˣ² + C。

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32. 試求 ∫₀³ x/√(1+x²) dx。

解答

我們使用換元積分法。

1. 設定 u: 令 u = 1 + x²。

2. 計算 du: du = 2x dx => (1/2)du = x dx。

3. 更換積分上下限:

   • 當 x = 0 時，u = 1 + 0² = 1。
   • 當 x = 3 時，u = 1 + 3² = 10。

4. 換元並積分: ∫₀³ x/√(1+x²) dx = ∫₁¹⁰ (1/√u) * (1/2)du = (1/2) ∫₁¹⁰ u⁻^(1/2) du = (1/2) * [ u^(1/2) / (1/2) ] |₁¹⁰ = [ √u ] |₁¹⁰ = √10 - √1 = √10 - 1

所以，∫₀³ x/√(1+x²) dx = √10 - 1。

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33. 試求 ∫ 1 / (2x - 3)⁵ dx。

解答

使用換元積分法。

1. 設定 u: 令 u = 2x - 3。

2. 計算 du: du = 2 dx => (1/2)du = dx。

3. 換元並積分: ∫ 1 / u⁵ * (1/2)du = (1/2) ∫ u⁻⁵ du = (1/2) * [ u⁻⁴ / (-4) ] + C = -1/8 * u⁻⁴ + C = -1 / (8u⁴) + C

4. 代回 x: = -1 / (8(2x - 3)⁴) + C

所以，∫ 1 / (2x - 3)⁵ dx = -1 / (8(2x - 3)⁴) + C。

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34. 試求 ∫₀¹ 1 / (1 + x)² dx。

解答

方法一：換元積分法

1. 設定 u: u = 1 + x。
2. 計算 du: du = dx。
3. 更換上下限: x = 0 → u = 1; x = 1 → u = 2。
4. 積分: ∫₁² 1/u² du = ∫₁² u⁻² du = [ u⁻¹ / (-1) ] |₁² = [ -1/u ] |₁² = (-1/2) - (-1/1) = -1/2 + 1 = 1/2

方法二：直接積分 ∫₀¹ (1 + x)⁻² dx = [ (1 + x)⁻¹ / (-1) ] |₀¹ = [ -1 / (1 + x) ] |₀¹ = (-1 / (1 + 1)) - (-1 / (1 + 0)) = -1/2 - (-1) = 1/2

所以，∫₀¹ 1 / (1 + x)² dx = 1/2。

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35. 試求 ∫₋₂⁰ 1 / (x² - 3x + 2) dx。 (註：原題為 ∫₋₂⁰ 1/(x²-3x+2) dx，但分母 x²-3x+2=(x-1)(x-2)，在積分區間[-2, 0]內恆正，可直接積分。)

解答

1. 因式分解分母: x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

2. 部分分式分解 (Partial Fraction Decomposition): 1 / ((x - 1)(x - 2)) = A/(x - 2) + B/(x - 1) 1 = A(x - 1) + B(x - 2)

   • 令 x = 1: 1 = B(1 - 2) => 1 = -B => B = -1
   • 令 x = 2: 1 = A(2 - 1) => 1 = A => A = 1 所以 1 / (x² - 3x + 2) = 1/(x - 2) - 1/(x - 1)

3. 積分: ∫₋₂⁰ [ 1/(x - 2) - 1/(x - 1) ] dx = [ ln|x - 2| - ln|x - 1| ] |₋₂⁰ = [ ln |(x - 2)/(x - 1)| ] |₋₂⁰ = (ln |(0 - 2)/(0 - 1)|) - (ln |(-2 - 2)/(-2 - 1)|) = ln|2| - ln |-4/-3| = ln(2) - ln(4/3) = ln( 2 / (4/3) ) = ln( 2 * 3/4 ) = ln(3/2)

所以，∫₋₂⁰ 1 / (x² - 3x + 2) dx = ln(3/2)。

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36. 設 f(x, y) = ln(x² + y²)，試求 fₓ 及 fᵧ。

解答

1. 求對 x 的偏微分 fₓ: 將 y 視為常數。使用連鎖律。 fₓ = ∂/∂x [ln(x² + y²)] fₓ = (1 / (x² + y²)) * ∂/∂x (x² + y²) fₓ = 2x / (x² + y²)

2. 求對 y 的偏微分 fᵧ: 將 x 視為常數。使用連鎖律。 fᵧ = ∂/∂y [ln(x² + y²)] fᵧ = (1 / (x² + y²)) * ∂/∂y (x² + y²) fᵧ = 2y / (x² + y²)

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37. 設 f(x, y) = x³y² + eˣ ln(2y)，試求 fₓₓ、fₓᵧ 及 fᵧᵧ。

解答

1. 先求一階偏微分:

   • fₓ: fₓ = ∂/∂x (x³y² + eˣ ln(2y)) fₓ = 3x²y² + eˣ ln(2y)
   • fᵧ: fᵧ = ∂/∂y (x³y² + eˣ ln(2y)) fᵧ = 2x³y + eˣ * (1/(2y)) * 2 fᵧ = 2x³y + eˣ/y

2. 再求二階偏微分:

   • fₓₓ: fₓₓ = ∂/∂x (fₓ) = ∂/∂x (3x²y² + eˣ ln(2y)) fₓₓ = 6xy² + eˣ ln(2y)
   • fₓᵧ: fₓᵧ = ∂/∂y (fₓ) = ∂/∂y (3x²y² + eˣ ln(2y)) fₓᵧ = 6x²y + eˣ * (1/(2y)) * 2 fₓᵧ = 6x²y + eˣ/y
   • fᵧᵧ: fᵧᵧ = ∂/∂y (fᵧ) = ∂/∂y (2x³y + eˣy⁻¹) fᵧᵧ = 2x³ - eˣy⁻² = 2x³ - eˣ/y²

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38. 試求 f(x, y, z) = ln(x² + y² + z²) 的全微分。

解答

全微分 df 的公式為：df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy + (∂f/∂z)dz。

1. 計算各個偏導函數:

   • ∂f/∂x = (1 / (x² + y² + z²)) * (2x) = 2x / (x² + y² + z²)
   • ∂f/∂y = (1 / (x² + y² + z²)) * (2y) = 2y / (x² + y² + z²)
   • ∂f/∂z = (1 / (x² + y² + z²)) * (2z) = 2z / (x² + y² + z²)

2. 寫出全微分: df = [ 2x / (x² + y² + z²) ] dx + [ 2y / (x² + y² + z²) ] dy + [ 2z / (x² + y² + z²) ] dz 或者可以寫成： df = (2 / (x² + y² + z²)) (x dx + y dy + z dz)

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39. 試利用全微分估計 √( (1.01)² + (1.99)² + (1.96)² )。

解答

1. 設定函數與基點:

   • 函數為 f(x, y, z) = √(x² + y² + z²)。
   • 選擇一個容易計算的基點 (x₀, y₀, z₀) = (1, 2, 2)。
   • 計算基點的函數值：f(1, 2, 2) = √(1² + 2² + 2²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3。

2. 計算變化量:

   • dx = 1.01 - 1 = 0.01
   • dy = 1.99 - 2 = -0.01
   • dz = 1.96 - 2 = -0.04

3. 計算偏導函數並在基點求值:

   • ∂f/∂x = x / √(x² + y² + z²) => fₓ(1,2,2) = 1/3
   • ∂f/∂y = y / √(x² + y² + z²) => fᵧ(1,2,2) = 2/3
   • ∂f/∂z = z / √(x² + y² + z²) => f_z(1,2,2) = 2/3

4. 計算全微分 df (近似的變化量): df ≈ (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy + (∂f/∂z)dz df ≈ (1/3)(0.01) + (2/3)(-0.01) + (2/3)(-0.04) df ≈ (1/3) * (0.01 - 0.02 - 0.08) df ≈ (1/3) * (-0.09) df ≈ -0.03

5. 估計最終值: f(1.01, 1.99, 1.96) ≈ f(1, 2, 2) + df f(1.01, 1.99, 1.96) ≈ 3 + (-0.03) = 2.97

估計值約為 2.97。

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40. 試求 f(x, y) = 4x² + y² - 8x + 2y + 1 的極值。

解答

1. 求一階偏微分並令其為 0:

   • fₓ = 8x - 8 = 0 => x = 1
   • fᵧ = 2y + 2 = 0 => y = -1 唯一的臨界點是 (1, -1)。

2. 求二階偏微分:

   • fₓₓ = 8
   • fᵧᵧ = 2
   • fₓᵧ = 0

3. 使用二階偏導檢驗法: 計算判別式 D = fₓₓ * fᵧᵧ - (fₓᵧ)²。 D = (8)(2) - (0)² = 16。

   • 因為 D = 16 > 0，所以存在極值。
   • 因為 fₓₓ = 8 > 0，所以此極值為局部極小值。

4. 計算極小值: f(1, -1) = 4(1)² + (-1)² - 8(1) + 2(-1) + 1 = 4 + 1 - 8 - 2 + 1 = -4

函數在 (1, -1) 有局部極小值，極小值為 -4。

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41. 試求 f(x, y, z) = xyz (x≥0, y≥0, z≥0) 的極大值，其中 x、y、z 滿足方程式 x³ + y³ + z³ = 1 之下極大值。

解答

我們使用拉格朗日乘數法 (Lagrange Multiplier)。

1. 設定拉格朗日函數:

   • 目標函數: f(x, y, z) = xyz
   • 限制條件: g(x, y, z) = x³ + y³ + z³ - 1 = 0
   • 拉格朗日函數: L(x, y, z, λ) = f(x, y, z) - λ * g(x, y, z) L = xyz - λ(x³ + y³ + z³ - 1)

2. 求偏微分並令其為 0:

   • ∂L/∂x = yz - 3λx² = 0 => yz = 3λx² (1)
   • ∂L/∂y = xz - 3λy² = 0 => xz = 3λy² (2)
   • ∂L/∂z = xy - 3λz² = 0 => xy = 3λz² (3)
   • ∂L/∂λ = -(x³ + y³ + z³ - 1) = 0 => x³ + y³ + z³ = 1 (4)

3. 解聯立方程式:

   • 將 (1) 式乘以 x: xyz = 3λx³

   • 將 (2) 式乘以 y: xyz = 3λy³

   • 將 (3) 式乘以 z: xyz = 3λz³ 由此可知，3λx³ = 3λy³ = 3λz³。

   • 情況一: λ = 0 若 λ = 0，則 yz = 0, xz = 0, xy = 0。這表示 x, y, z 中至少有兩個為 0。若 y=z=0，代入(4)得 x³=1 => x=1。此時 f(1,0,0) = 0。同理可得 f(0,1,0)=0, f(0,0,1)=0。這顯然是最小值。

   • 情況二: λ ≠ 0 若 λ ≠ 0，則 x³ = y³ = z³。因為 x, y, z ≥ 0，所以 x = y = z。 將 x = y = z 代入限制條件 (4): x³ + x³ + x³ = 1 3x³ = 1 x³ = 1/3 所以 x = y = z = (1/3)^(1/3) = 1/∛3。

4. 計算極大值: 將 x, y, z 的值代回 f(x, y, z) = xyz。 極大值 = (1/∛3) * (1/∛3) * (1/∛3) = (1/∛3)³ = 1/3。

在限制條件下，f(x, y, z) = xyz 的極大值為 1/3。