財金數量方法習題 - Gemini Pro 2.5 解答 Chapter 03

2025-07-08 22:22:11 Category Icon 未分類

財金數量方法習題 - Gemini Pro 2.5 解答 Chapter 03

1. 設 A = [2113]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}，B = [0242]\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}，試求：(1) A－2B (2) 3A＋B

解答： (1) A - 2B = [2113]−2[0242]=[2113]−[0484]=[2−3−7−1]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ 8 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & -1 \end{bmatrix}

(2) 3A + B = 3[2113]+[0242]=[6339]+[0242]=[65711]3\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 3 & 9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 5 \\ 7 & 11 \end{bmatrix}

  1. 設 A = [1030−1−1]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \end{bmatrix}，B = [02−11]\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}，C = [1214]\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}，r=2r = 2，試求： (1) (AB)C (2) AC+BC (3) rAB

解答： 這題的矩陣維度有問題。A 是 2x3 矩陣，B 是 2x2 矩陣。矩陣乘法 AB 要求 A 的行數等於 B 的列數，但 3 ≠ 2，所以 AB 無法計算，因此 (1) 和 (3) 無法求解。同理，AC+BC 中的 AC 也無法計算。題目可能印刷有誤。

假設題目意指 B、C 應為 3x2 矩陣，或 A 為 2x2 矩陣，但基於原題無法作答。

  1. 設 A = [210−2]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}，B = [−2013]\begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}，試求：(1) (A+B)² (2) A²+2AB+B²

解答： (1) A + B = [210−2]+[−2013]=[0111]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} (A+B)² = [0111][0111]=[0⋅0+1⋅10⋅1+1⋅11⋅0+1⋅11⋅1+1⋅1]=[1112]\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \cdot 0+1 \cdot 1 & 0 \cdot 1+1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 0+1 \cdot 1 & 1 \cdot 1+1 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}

(2) A² = [210−2][210−2]=[4004]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} B² = [−2013][−2013]=[4019]\begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 9 \end{bmatrix} AB = [210−2][−2013]=[−33−2−6]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 3 \\ -2 & -6 \end{bmatrix} 2AB = 2[−33−2−6]=[−66−4−12]2\begin{bmatrix} -3 & 3 \\ -2 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & 6 \\ -4 & -12 \end{bmatrix} A²+2AB+B² = [4004]+[−66−4−12]+[4019]=[26−31]\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -6 & 6 \\ -4 & -12 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} 注意： 在矩陣運算中，因為 AB ≠ BA，所以 (A+B)² ≠ A²+2AB+B²。

  1. 設 A = [13−22−11]\begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \end{bmatrix}，B = [1−101−10]\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}，C = [2113]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}，試求 (ABC)ᵀ。

解答： (ABC)ᵀ = CᵀBᵀAᵀ Aᵀ = [123−1−21]\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}, Bᵀ = [10−1−110]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix}, Cᵀ = [2113]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} CᵀBᵀ = [2113][10−1−110]=[11−2−23−1]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -2 & 3 & -1 \end{bmatrix} (CᵀBᵀ)Aᵀ = [11−2−23−1][123−1−21]=[1+3+42−1−2−2+9+2−4−3−1]=[8−19−8]\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -2 & 3 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+3+4 & 2-1-2 \\ -2+9+2 & -4-3-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -1 \\ 9 & -8 \end{bmatrix} 所以 (ABC)ᵀ = [8−19−8]\begin{bmatrix} 8 & -1 \\ 9 & -8 \end{bmatrix}

  1. 設 A = [1234]\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}，試求 A 的反矩陣。

解答： 對於 2x2 矩陣 A = [abcd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}，其反矩陣 A⁻¹ = 1ad−bc[d−b−ca]\frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}。 det(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 A⁻¹ = 1−2[4−2−31]=[−213/2−1/2]\frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{bmatrix}

  1. 設 A = [2513]\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}，試求 (A⁻¹)ᵀ 與 (Aᵀ)⁻¹。

解答： (1) 求 A⁻¹ det(A) = (2)(3) - (5)(1) = 6 - 5 = 1 A⁻¹ = 11[3−5−12]=[3−5−12]\frac{1}{1} \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} (A⁻¹)ᵀ = [3−1−52]\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}

(2) 求 Aᵀ Aᵀ = [2153]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} det(Aᵀ) = (2)(3) - (1)(5) = 6 - 5 = 1 (Aᵀ)⁻¹ = 11[3−1−52]=[3−1−52]\frac{1}{1} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} 結論： (A⁻¹)ᵀ = (Aᵀ)⁻¹

  1. 設 A = [123456789]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}，試作以下的列運算：(1) e₂₃ (2) e₃⁽³⁾ (3) e₂₁⁽⁻²⁾

解答： (1) e₂₃(A): 交換第 2 列和第 3 列 [123789456]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}

(2) e₃⁽³⁾(A): 將第 3 列乘以 3 [123456212427]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 21 & 24 & 27 \end{bmatrix}

(3) e₂₁⁽⁻²⁾(A): 將第 1 列乘以 -2 後加到第 2 列 [1234+(−2)⋅15+(−2)⋅26+(−2)⋅3789]=[123210789]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4+(-2)\cdot1 & 5+(-2)\cdot2 & 6+(-2)\cdot3 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}

  1. 試將矩陣 [142−103214]\begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \end{bmatrix} 化簡為列簡化梯形矩陣 (row-echelon form)。

解答： A=[142−103214]A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \end{bmatrix} R2→R2+R1,R3→R3−2R1  ⟹  [1420450−70]R_2 \to R_2 + R_1, R_3 \to R_3 - 2R_1 \implies \begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & -7 & 0 \end{bmatrix} R3→−17R3  ⟹  [142045010]R_3 \to -\frac{1}{7}R_3 \implies \begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} 交換 R2,R3  ⟹  [142010045]R_2, R_3 \implies \begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 5 \end{bmatrix} R1→R1−4R2,R3→R3−4R2  ⟹  [102010005]R_1 \to R_1 - 4R_2, R_3 \to R_3 - 4R_2 \implies \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} R3→15R3  ⟹  [102010001]R_3 \to \frac{1}{5}R_3 \implies \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} R1→R1−2R3  ⟹  [100010001]R_1 \to R_1 - 2R_3 \implies \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 列簡化梯形矩陣為單位矩陣 I₃。

  1. 試求矩陣 [1021−15]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 5 \end{bmatrix} 的秩 (rank)。

解答： 將矩陣化為梯形矩陣。 [1021−15]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 5 \end{bmatrix} R2→R2−R1  ⟹  [1020−13]R_2 \to R_2 - R_1 \implies \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 3 \end{bmatrix} 化簡後的梯形矩陣有兩個非零列，因此矩陣的秩為 2。

  1. 試判斷方程組 {x+y+2z=33x+y+4z=5x−y=3\begin{cases} x+y+2z=3 \\ 3x+y+4z=5 \\ x-y=3 \end{cases} 解的個數。

解答： 寫出增廣矩陣： [112331451−103]\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 4 & 5 \\ 1 & -1 & 0 & 3 \end{array}\right] 進行列運算： R2→R2−3R1,R3→R3−R1  ⟹  [11230−2−2−40−2−20]R_2 \to R_2 - 3R_1, R_3 \to R_3 - R_1 \implies \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & -2 & -2 & -4 \\ 0 & -2 & -2 & 0 \end{array}\right] R3→R3−R2  ⟹  [11230−2−2−40004]R_3 \to R_3 - R_2 \implies \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & -2 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}\right] 最後一列為 [0 0 0 | 4]，即 0x + 0y + 0z = 4，這是不可能的。因此，此方程組無解。解的個數為 0。

11. 試判斷方程組 {x+y+3z=7x−y−z=1y+2z=3\begin{cases} x+y+3z=7 \\ x-y-z=1 \\ y+2z=3 \end{cases} 的解的個數並求解。

解答： 將方程組寫成增廣矩陣： [11371−1−110123]\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 3 & 7 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right] 進行列運算： R2→R2−R1  ⟹  [11370−2−4−60123]R_2 \to R_2 - R_1 \implies \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 3 & 7 \\ 0 & -2 & -4 & -6 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right] R2→−12R2  ⟹  [113701230123]R_2 \to -\frac{1}{2}R_2 \implies \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right] R3→R3−R2  ⟹  [113701230000]R_3 \to R_3 - R_2 \implies \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] 因為最後一列為 [0 0 0 | 0]，表示此方程組有無限多組解。 由第二列可知：y+2z=3  ⟹  y=3−2zy + 2z = 3 \implies y = 3 - 2z 代入第一列：x+(3−2z)+3z=7  ⟹  x+z+3=7  ⟹  x=4−zx + (3 - 2z) + 3z = 7 \implies x + z + 3 = 7 \implies x = 4 - z 令 z=tz = t (t為任意實數)，則解為： {x=4−ty=3−2tz=t\begin{cases} x = 4 - t \\ y = 3 - 2t \\ z = t \end{cases}

  1. 試判斷方程組 {x+3y+4z=02x+y+5z=04x+7y+13z=0\begin{cases} x+3y+4z=0 \\ 2x+y+5z=0 \\ 4x+7y+13z=0 \end{cases} 的解的個數並求解。

解答： 此為齊次方程組 (homogeneous system)，至少有 (0,0,0) 的平凡解。 寫出係數矩陣並計算其行列式： A=[1342154713]A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 5 \\ 4 & 7 & 13 \end{bmatrix} det(A) = 1(13-35) - 3(26-20) + 4(14-4) = -22 - 3(6) + 4(10) = -22 - 18 + 40 = 0 因為行列式為 0，表示此方程組除了平凡解外，還有無限多組非平凡解。 進行列運算求解： [1342154713]→R2−2R1,R3−4R1→[1340−5−30−5−3]→R3−R2→[1340−5−3000]\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 5 \\ 4 & 7 & 13 \end{bmatrix} \to R_2-2R_1, R_3-4R_1 \to \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & -5 & -3 \\ 0 & -5 & -3 \end{bmatrix} \to R_3-R_2 \to \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 由第二列：−5y−3z=0  ⟹  y=−35z-5y - 3z = 0 \implies y = -\frac{3}{5}z 代入第一列：x+3(−35z)+4z=0  ⟹  x−95z+205z=0  ⟹  x+115z=0  ⟹  x=−115zx + 3(-\frac{3}{5}z) + 4z = 0 \implies x - \frac{9}{5}z + \frac{20}{5}z = 0 \implies x + \frac{11}{5}z = 0 \implies x = -\frac{11}{5}z 令 z=5tz = 5t (t為任意實數)，則解為： {x=−11ty=−3tz=5t\begin{cases} x = -11t \\ y = -3t \\ z = 5t \end{cases}

  1. 試求 A = [124−326013]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -3 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} 的反矩陣。

解答： 使用增廣矩陣法 [A | I] → [I | A⁻¹]。 [124100−326010013001]\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ -3 & 2 & 6 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] R2→R2+3R1  ⟹  [1241000818310013001]R_2 \to R_2 + 3R_1 \implies \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 18 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] 交換 R2,R3  ⟹  [1241000130010818310]R_2, R_3 \implies \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 8 & 18 & 3 & 1 & 0 \end{array}\right] R1→R1−2R2,R3→R3−8R2  ⟹  [10−210−201300100−631−8]R_1 \to R_1 - 2R_2, R_3 \to R_3 - 8R_2 \implies \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -2 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -6 & 3 & 1 & -8 \end{array}\right] R3→−16R3  ⟹  [10−210−2013001001−1/2−1/64/3]R_3 \to -\frac{1}{6}R_3 \implies \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -2 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1/2 & -1/6 & 4/3 \end{array}\right] R1→R1+2R3,R2→R2−3R3  ⟹  [1000−1/32/30103/21/2−3001−1/2−1/64/3]R_1 \to R_1 + 2R_3, R_2 \to R_2 - 3R_3 \implies \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -1/3 & 2/3 \\ 0 & 1 & 0 & 3/2 & 1/2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & -1/2 & -1/6 & 4/3 \end{array}\right] 所以 A⁻¹ = [0−1/32/33/21/2−3−1/2−1/64/3]\begin{bmatrix} 0 & -1/3 & 2/3 \\ 3/2 & 1/2 & -3 \\ -1/2 & -1/6 & 4/3 \end{bmatrix}

  1. 設 I, E, O, C, D, B 如圖所示，試用分割矩陣概念計算下列各式子… (題目不完整)

解答： 根據圖片，題目是計算：(1) [IOCI][BO]\begin{bmatrix} I & O \\ C & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B \\ O \end{bmatrix} (2) [COIB]\begin{bmatrix} C & O \\ I & B \end{bmatrix} (3) [DOOE][BO]\begin{bmatrix} D & O \\ O & E \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B \\ O \end{bmatrix} (4) [EO′OB]\begin{bmatrix} E & O' \\ O & B \end{bmatrix} 其中 I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, E=[0110]E = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, O=[0000]O = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, C=[1110]C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, D=[−200−2]D = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}, B=[B11B12B21B22]=[111031211240]B = \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \end{bmatrix} 此處 B 的維度為 4x3，與 2x2 的分割矩陣不相容。假設 B 應該是 2xN 的矩陣，或是 4xN 矩陣，且分割後的子矩陣 BijB_{ij} 為 2x(N/2)。題目定義不清，無法作答。

  1. 設 Q 為 n 階方陣，且其向量分別為 q1,q2,…,qnq_1, q_2, \dots, q_n，請利用矩陣乘法證明 QQT=q1q1T+q2q2T+⋯+qnqnTQQ^T = q_1q_1^T + q_2q_2^T + \dots + q_nq_n^T。

解答： 設 Q = [q1q2…qn]\begin{bmatrix} q_1 & q_2 & \dots & q_n \end{bmatrix}，其中 qiq_i 是 Q 的第 i 個行向量。 則 Qᵀ = [q1Tq2T⋮qnT]\begin{bmatrix} q_1^T \\ q_2^T \\ \vdots \\ q_n^T \end{bmatrix}，其中 qiTq_i^T 是 Qᵀ 的第 i 個列向量。 根據矩陣乘法的定義（行乘以列的觀點）： QQT=[q1q2…qn][q1Tq2T⋮qnT]QQ^T = \begin{bmatrix} q_1 & q_2 & \dots & q_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_1^T \\ q_2^T \\ \vdots \\ q_n^T \end{bmatrix} =(q1)(q1T)+(q2)(q2T)+⋯+(qn)(qnT)= (q_1)(q_1^T) + (q_2)(q_2^T) + \dots + (q_n)(q_n^T) =∑i=1nqiqiT= \sum_{i=1}^{n} q_i q_i^T 得證。

  1. 承上題，令 Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)\Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)，請證明 QΛQT=λ1q1q1T+λ2q2q2T+⋯+λnqnqnTQ \Lambda Q^T = \lambda_1 q_1 q_1^T + \lambda_2 q_2 q_2^T + \dots + \lambda_n q_n q_n^T。

解答： QΛ=[q1q2…qn][λ10…00λ2…0⋮⋮⋱⋮00…λn]=[λ1q1λ2q2…λnqn]Q\Lambda = \begin{bmatrix} q_1 & q_2 & \dots & q_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_1 q_1 & \lambda_2 q_2 & \dots & \lambda_n q_n \end{bmatrix} 現在計算 (QΛ)QT(Q\Lambda)Q^T： (QΛ)QT=[λ1q1λ2q2…λnqn][q1Tq2T⋮qnT](Q\Lambda)Q^T = \begin{bmatrix} \lambda_1 q_1 & \lambda_2 q_2 & \dots & \lambda_n q_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_1^T \\ q_2^T \\ \vdots \\ q_n^T \end{bmatrix} 根據矩陣乘法定義，這等於行向量與對應列向量乘積的和： =(λ1q1)(q1T)+(λ2q2)(q2T)+⋯+(λnqn)(qnT)= (\lambda_1 q_1)(q_1^T) + (\lambda_2 q_2)(q_2^T) + \dots + (\lambda_n q_n)(q_n^T) =λ1q1q1T+λ2q2q2T+⋯+λnqnqnT= \lambda_1 q_1 q_1^T + \lambda_2 q_2 q_2^T + \dots + \lambda_n q_n q_n^T 得證。此為矩陣的譜分解 (Spectral Decomposition)。

  1. AB = [1300270000230035][3200750000400009]\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 & 0 \\ 7 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}，請利用分割矩陣的技巧，求 (AB)⁻¹。

解答： 令 M=ABM = AB。此為區塊對角矩陣 (block diagonal matrix)。 設 A1=[1327]A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{bmatrix}, A2=[2335]A_2 = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} 設 B1=[3275]B_1 = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 5 \end{bmatrix}, B2=[4009]B_2 = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} 則 A=[A1OOA2]A = \begin{bmatrix} A_1 & O \\ O & A_2 \end{bmatrix}, B=[B1OOB2]B = \begin{bmatrix} B_1 & O \\ O & B_2 \end{bmatrix} M=AB=[A1B1OOA2B2]M = AB = \begin{bmatrix} A_1 B_1 & O \\ O & A_2 B_2 \end{bmatrix} M−1=(AB)−1=[(A1B1)−1OO(A2B2)−1]=[B1−1A1−1OOB2−1A2−1]M^{-1} = (AB)^{-1} = \begin{bmatrix} (A_1 B_1)^{-1} & O \\ O & (A_2 B_2)^{-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B_1^{-1}A_1^{-1} & O \\ O & B_2^{-1}A_2^{-1} \end{bmatrix}

計算各個反矩陣： A1−1=17−6[7−3−21]=[7−3−21]A_1^{-1} = \frac{1}{7-6}\begin{bmatrix} 7 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} A2−1=110−9[5−3−32]=[5−3−32]A_2^{-1} = \frac{1}{10-9}\begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} B1−1=115−14[5−2−73]=[5−2−73]B_1^{-1} = \frac{1}{15-14}\begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -7 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -7 & 3 \end{bmatrix} B2−1=136−0[9004]=[1/4001/9]B_2^{-1} = \frac{1}{36-0}\begin{bmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/4 & 0 \\ 0 & 1/9 \end{bmatrix}

計算區塊反矩陣： (A1B1)−1=B1−1A1−1=[5−2−73][7−3−21]=[39−17−5524](A_1 B_1)^{-1} = B_1^{-1}A_1^{-1} = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -7 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 7 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 39 & -17 \\ -55 & 24 \end{bmatrix} (A2B2)−1=B2−1A2−1=[1/4001/9][5−3−32]=[5/4−3/4−1/32/9](A_2 B_2)^{-1} = B_2^{-1}A_2^{-1} = \begin{bmatrix} 1/4 & 0 \\ 0 & 1/9 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5/4 & -3/4 \\ -1/3 & 2/9 \end{bmatrix}

所以 (AB)⁻¹ = [39−1700−552400005/4−3/400−1/32/9]\begin{bmatrix} 39 & -17 & 0 & 0 \\ -55 & 24 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5/4 & -3/4 \\ 0 & 0 & -1/3 & 2/9 \end{bmatrix}

  1. 有一四階方陣 M = [ABO2×2C]\begin{bmatrix} A & B \\ O_{2\times2} & C \end{bmatrix}，其中 A、B、C 為三個二階方陣且反矩陣皆存在，而 O2×2O_{2\times2} 代表一個二階的零矩陣，試求出 M 的反矩陣。

解答： 設 M−1=[XYZW]M^{-1} = \begin{bmatrix} X & Y \\ Z & W \end{bmatrix}。 MM−1=I  ⟹  [ABOC][XYZW]=[IOOI]MM^{-1} = I \implies \begin{bmatrix} A & B \\ O & C \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X & Y \\ Z & W \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & O \\ O & I \end{bmatrix} [AX+BZAY+BWCZCW]=[IOOI]\begin{bmatrix} AX+BZ & AY+BW \\ CZ & CW \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & O \\ O & I \end{bmatrix} 從右下角開始解： (1) CW=I  ⟹  W=C−1CW = I \implies W = C^{-1} (因為C的反矩陣存在) (2) CZ=O  ⟹  Z=C−1O=OCZ = O \implies Z = C^{-1}O = O (3) AY+BW=O  ⟹  AY+BC−1=O  ⟹  AY=−BC−1  ⟹  Y=−A−1BC−1AY+BW = O \implies AY+BC^{-1}=O \implies AY = -BC^{-1} \implies Y = -A^{-1}BC^{-1} (因為A的反矩陣存在) (4) AX+BZ=I  ⟹  AX+BO=I  ⟹  AX=I  ⟹  X=A−1AX+BZ = I \implies AX+BO = I \implies AX = I \implies X = A^{-1} 所以 M⁻¹ = [A−1−A−1BC−1OC−1]\begin{bmatrix} A^{-1} & -A^{-1}BC^{-1} \\ O & C^{-1} \end{bmatrix}

  1. 設 A = [21−3−314−12−2]\begin{bmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -3 & 1 & 4 \\ -1 & 2 & -2 \end{bmatrix}，試求：(1) cof₂₁(A) (2) cof₂₂(A) (3) cof₂₃(A)。

解答： 餘因子 (cofactor) Cij=(−1)i+jMijC_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}，其中 MijM_{ij} 是刪除第 i 列和第 j 行後的子式 (minor)。

(1) cof₂₁(A) = (−1)2+1det⁡(1−32−2)=(−1)⋅((1)(−2)−(−3)(2))=−(−2+6)=−4(-1)^{2+1} \det \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} = (-1) \cdot ((1)(-2) - (-3)(2)) = -(-2 + 6) = -4

(2) cof₂₂(A) = (−1)2+2det⁡(2−3−1−2)=(1)⋅((2)(−2)−(−3)(−1))=(−4−3)=−7(-1)^{2+2} \det \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = (1) \cdot ((2)(-2) - (-3)(-1)) = (-4 - 3) = -7

(3) cof₂₃(A) = (−1)2+3det⁡(21−12)=(−1)⋅((2)(2)−(1)(−1))=−(4+1)=−5(-1)^{2+3} \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = (-1) \cdot ((2)(2) - (1)(-1)) = -(4 + 1) = -5

  1. 試求 A = [21−3−314−12−2]\begin{bmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -3 & 1 & 4 \\ -1 & 2 & -2 \end{bmatrix} 的行列式值。

解答： 使用第一列展開： det(A) = 2⋅cof11(A)+1⋅cof12(A)+(−3)⋅cof13(A)2 \cdot \text{cof}_{11}(A) + 1 \cdot \text{cof}_{12}(A) + (-3) \cdot \text{cof}_{13}(A) =2⋅(−1)1+1det⁡(142−2)+1⋅(−1)1+2det⁡(−34−1−2)+(−3)⋅(−1)1+3det⁡(−31−12)= 2 \cdot (-1)^{1+1} \det\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} + 1 \cdot (-1)^{1+2} \det\begin{pmatrix} -3 & 4 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} + (-3) \cdot (-1)^{1+3} \det\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} =2(1)((−2)−8)+1(−1)(6−(−4))+(−3)(1)(−6−(−1))= 2(1)((-2) - 8) + 1(-1)(6 - (-4)) + (-3)(1)(-6 - (-1)) =2(−10)−(10)−3(−5)= 2(-10) - (10) - 3(-5) =−20−10+15=−15= -20 - 10 + 15 = -15

21. 設 A = [1300−1412−2]\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & -2 \end{bmatrix}，試求：(1) |A| (2) |2A| (3) |Aᵀ|。

解答： (1) |A|: 行列式值 ∣A∣=1⋅det⁡(−142−2)−3⋅det⁡(041−2)+0⋅det⁡(0−112)|A| = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} - 3 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} + 0 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} =1(2−8)−3(0−4)+0= 1(2-8) - 3(0-4) + 0 =−6−3(−4)=−6+12=6= -6 - 3(-4) = -6 + 12 = 6 所以 |A| = 6

(2) |2A| 對於 n 階方陣 A，|kA| = kⁿ|A|。此處 n=3, k=2。 |2A| = 2³|A| = 8 * 6 = 48

(3) |Aᵀ| |Aᵀ| = |A| 所以 |Aᵀ| = 6

  1. 設 A = [2100121001210012]\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}，試用降階法求 A 的行列式。

解答： 從第一列降階： ∣A∣=2⋅det⁡(210121012)−1⋅det⁡(110021012)|A| = 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} - 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} 計算第一個三階行列式： det⁡(210121012)=2(4−1)−1(2−0)=2(3)−2=4\det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} = 2(4-1) - 1(2-0) = 2(3) - 2 = 4 計算第二個三階行列式 (從第一行降階)： det⁡(110021012)=1⋅det⁡(2112)=1(4−1)=3\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 1(4-1) = 3 所以 ∣A∣=2(4)−1(3)=8−3=5|A| = 2(4) - 1(3) = 8 - 3 = 5

  1. 若 A = [121012202]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}，試求 adj(A) = ?

解答： adj(A) 是 A 的伴隨矩陣，等於其餘因子矩陣的轉置。 C11=det⁡(1202)=2C_{11} = \det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2 C12=−det⁡(0222)=−(−4)=4C_{12} = -\det\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = -(-4) = 4 C13=det⁡(0120)=−2C_{13} = \det\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = -2 C21=−det⁡(2102)=−4C_{21} = -\det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = -4 C22=det⁡(1122)=0C_{22} = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = 0 C23=−det⁡(1220)=−(−4)=4C_{23} = -\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = -(-4) = 4 C31=det⁡(2112)=3C_{31} = \det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 3 C32=−det⁡(1102)=−2C_{32} = -\det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = -2 C33=det⁡(1201)=1C_{33} = \det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 餘因子矩陣 Cof(A) = [24−2−4043−21]\begin{bmatrix} 2 & 4 & -2 \\ -4 & 0 & 4 \\ 3 & -2 & 1 \end{bmatrix} adj(A) = (Cof(A))ᵀ = [2−4340−2−241]\begin{bmatrix} 2 & -4 & 3 \\ 4 & 0 & -2 \\ -2 & 4 & 1 \end{bmatrix}

  1. 若 A = [121012202]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}，試用古典伴隨矩陣的方法求 A⁻¹。

解答： A⁻¹ = 1∣A∣adj(A)\frac{1}{|A|} \text{adj}(A) 首先計算 |A|： ∣A∣=1(2−0)−2(0−4)+1(0−2)=2+8−2=8|A| = 1(2-0) - 2(0-4) + 1(0-2) = 2 + 8 - 2 = 8 從上題已知 adj(A) = [2−4340−2−241]\begin{bmatrix} 2 & -4 & 3 \\ 4 & 0 & -2 \\ -2 & 4 & 1 \end{bmatrix} 所以 A⁻¹ = 18[2−4340−2−241]=[1/4−1/23/81/20−1/4−1/41/21/8]\frac{1}{8} \begin{bmatrix} 2 & -4 & 3 \\ 4 & 0 & -2 \\ -2 & 4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/4 & -1/2 & 3/8 \\ 1/2 & 0 & -1/4 \\ -1/4 & 1/2 & 1/8 \end{bmatrix}

  1. 試利用克拉瑪法則求解方程組方式：{x+2y+3z=122x+3y+z=83x+y+z=7\begin{cases} x+2y+3z=12 \\ 2x+3y+z=8 \\ 3x+y+z=7 \end{cases}

解答： 克拉瑪法則：x=∣Ax∣∣A∣,y=∣Ay∣∣A∣,z=∣Az∣∣A∣x = \frac{|A_x|}{|A|}, y = \frac{|A_y|}{|A|}, z = \frac{|A_z|}{|A|} 係數矩陣 A=[123231311]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix} ∣A∣=1(3−1)−2(2−3)+3(2−9)=1(2)−2(−1)+3(−7)=2+2−21=−17|A| = 1(3-1) - 2(2-3) + 3(2-9) = 1(2) - 2(-1) + 3(-7) = 2 + 2 - 21 = -17 Ax=[1223831711]A_x = \begin{bmatrix} 12 & 2 & 3 \\ 8 & 3 & 1 \\ 7 & 1 & 1 \end{bmatrix}, ∣Ax∣=12(3−1)−2(8−7)+3(8−21)=12(2)−2(1)+3(−13)=24−2−39=−17|A_x| = 12(3-1) - 2(8-7) + 3(8-21) = 12(2) - 2(1) + 3(-13) = 24 - 2 - 39 = -17 Ay=[1123281371]A_y = \begin{bmatrix} 1 & 12 & 3 \\ 2 & 8 & 1 \\ 3 & 7 & 1 \end{bmatrix}, ∣Ay∣=1(8−7)−12(2−3)+3(14−24)=1(1)−12(−1)+3(−10)=1+12−30=−17|A_y| = 1(8-7) - 12(2-3) + 3(14-24) = 1(1) - 12(-1) + 3(-10) = 1 + 12 - 30 = -17 Az=[1212238317]A_z = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 12 \\ 2 & 3 & 8 \\ 3 & 1 & 7 \end{bmatrix}, ∣Az∣=1(21−8)−2(14−24)+12(2−9)=1(13)−2(−10)+12(−7)=13+20−84=−51|A_z| = 1(21-8) - 2(14-24) + 12(2-9) = 1(13) - 2(-10) + 12(-7) = 13 + 20 - 84 = -51 x=−17−17=1x = \frac{-17}{-17} = 1 y=−17−17=1y = \frac{-17}{-17} = 1 z=−51−17=3z = \frac{-51}{-17} = 3 解為 (x, y, z) = (1, 1, 3)。

  1. 試將 A = [3124]\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} 作 LU 分解。

解答： 我們要求 A = LU，其中 L 為下三角矩陣，U 為上三角矩陣。 A=[3124]A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} 進行高斯消去法，將 A 化為上三角矩陣 U： R2→R2−23R1  ⟹  [3104−23]=[310103]=UR_2 \to R_2 - \frac{2}{3}R_1 \implies \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 4 - \frac{2}{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & \frac{10}{3} \end{bmatrix} = U 消去過程中所用的乘數構成 L 矩陣。l21=23l_{21} = \frac{2}{3}。 L=[10231]L = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{2}{3} & 1 \end{bmatrix} 因此，LU 分解為： A=[3124]=[10231][310103]A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{2}{3} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & \frac{10}{3} \end{bmatrix}

  1. 試將 A = [176324598]\begin{bmatrix} 1 & 7 & 6 \\ 3 & 2 & 4 \\ 5 & 9 & 8 \end{bmatrix} 作 LU 分解。

解答： 我們想找到 A = LU，其中 L 是下三角矩陣，U 是上三角矩陣。 A=[176324598]A = \begin{bmatrix} 1 & 7 & 6 \\ 3 & 2 & 4 \\ 5 & 9 & 8 \end{bmatrix} 進行高斯消去法以得到 U：

  1. R2→R2−3R1R_2 \to R_2 - 3R_1 (乘數 l21=3l_{21}=3)
  2. R3→R3−5R1R_3 \to R_3 - 5R_1 (乘數 l31=5l_{31}=5) [17602−214−1809−358−30]=[1760−19−140−26−22]\begin{bmatrix} 1 & 7 & 6 \\ 0 & 2 - 21 & 4 - 18 \\ 0 & 9 - 35 & 8 - 30 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 7 & 6 \\ 0 & -19 & -14 \\ 0 & -26 & -22 \end{bmatrix}
  3. R3→R3−2619R2R_3 \to R_3 - \frac{26}{19}R_2 (乘數 l32=2619l_{32}=\frac{26}{19}) [1760−19−140−26−2619(−19)−22−2619(−14)]=[1760−19−1400−22+36419]=[1760−19−1400−5419]\begin{bmatrix} 1 & 7 & 6 \\ 0 & -19 & -14 \\ 0 & -26 - \frac{26}{19}(-19) & -22 - \frac{26}{19}(-14) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 7 & 6 \\ 0 & -19 & -14 \\ 0 & 0 & -22 + \frac{364}{19} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 7 & 6 \\ 0 & -19 & -14 \\ 0 & 0 & -\frac{54}{19} \end{bmatrix} 所以： U=[1760−19−1400−5419]U = \begin{bmatrix} 1 & 7 & 6 \\ 0 & -19 & -14 \\ 0 & 0 & -\frac{54}{19} \end{bmatrix} L=[100l2110l31l321]=[100310526191]L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 5 & \frac{26}{19} & 1 \end{bmatrix}
  1. 設 A = [−2−131−21121]\begin{bmatrix} -2 & -1 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}，P = [001100010]\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}，試判斷下列矩陣能否作 LU 分解，若能作 LU 分解，則試求出：(1) A (2) PA。

解答： (1) 對於矩陣 A 一個矩陣可進行 LU 分解的條件是其所有主子行列式 (leading principal minors) 皆不為零。

  • D1=−2≠0D_1 = -2 \neq 0
  • D2=det⁡(−2−11−2)=4−(−1)=5≠0D_2 = \det\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = 4 - (-1) = 5 \neq 0
  • D3=det⁡(A)=−2((−2)−2)+1(1−1)+3(2−(−2))=8+0+12=20≠0D_3 = \det(A) = -2( (-2) - 2 ) + 1( 1 - 1 ) + 3( 2 - (-2) ) = 8 + 0 + 12 = 20 \neq 0 所有主子行列式都不為零，A可以進行 LU 分解。 L=[100−1/210−1/2−3/51]L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1/2 & 1 & 0 \\ -1/2 & -3/5 & 1 \end{bmatrix}, U=[−2−130−5/25/2004]U = \begin{bmatrix} -2 & -1 & 3 \\ 0 & -5/2 & 5/2 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}

(2) 對於矩陣 PA 首先計算 PA： PA=[001100010][−2−131−21121]=[121−2−131−21]PA = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & -1 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -2 & -1 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} 檢查主子行列式：

  • D1′=1≠0D'_1 = 1 \neq 0
  • D2′=det⁡(12−2−1)=−1−(−4)=3≠0D'_2 = \det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = -1 - (-4) = 3 \neq 0
  • D3′=det⁡(PA)=det⁡(P)det⁡(A)=1×20=20≠0D'_3 = \det(PA) = \det(P)\det(A) = 1 \times 20 = 20 \neq 0 所有主子行列式都不為零，PA可以進行 LU 分解。 L=[100−2101−4/31]L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & -4/3 & 1 \end{bmatrix}, U=[1210350020/3]U = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 20/3 \end{bmatrix}
  1. 試求線性方程組 {2x1+3x2+0x3=196x1+5x2+0x3=392x1+x2+6x3=14\begin{cases} 2x_1+3x_2+0x_3=19 \\ 6x_1+5x_2+0x_3=39 \\ 2x_1+x_2+6x_3=14 \end{cases} (請使用 LU 分解法)。

解答： A=[230650216]A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 6 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 6 \end{bmatrix}, b=[193914]b = \begin{bmatrix} 19 \\ 39 \\ 14 \end{bmatrix}

  1. A = LU 分解 L=[10031011/21]L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 1/2 & 1 \end{bmatrix}, U=[2300−40006]U = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}
  2. 解 Ly = b (向前代入) [10031011/21][y1y2y3]=[193914]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 1/2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 \\ 39 \\ 14 \end{bmatrix}
    • y1=19y_1 = 19
    • 3(19)+y2=39  ⟹  y2=39−57=−183(19) + y_2 = 39 \implies y_2 = 39 - 57 = -18
    • 19+12(−18)+y3=14  ⟹  19−9+y3=14  ⟹  y3=419 + \frac{1}{2}(-18) + y_3 = 14 \implies 19 - 9 + y_3 = 14 \implies y_3 = 4
  3. 解 Ux = y (向後代入) [2300−40006][x1x2x3]=[19−184]\begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 \\ -18 \\ 4 \end{bmatrix}
    • 6x3=4  ⟹  x3=2/36x_3 = 4 \implies x_3 = 2/3
    • −4x2=−18  ⟹  x2=9/2-4x_2 = -18 \implies x_2 = 9/2
    • 2x1+3(9/2)=19  ⟹  2x1=19−27/2=11/2  ⟹  x1=11/42x_1 + 3(9/2) = 19 \implies 2x_1 = 19 - 27/2 = 11/2 \implies x_1 = 11/4 解：x1=11/4,x2=9/2,x3=2/3x_1 = 11/4, x_2 = 9/2, x_3 = 2/3
  1. 設有ㄧ矩陣 A = [123456789]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}，試作以下行運算：(1) c₁₃ (2) c₂⁽²⁾ (3) c₂₃⁽⁻¹⁾。

解答： (1) c₁₃(A) (交換第 1 行和第 3 行): [321654987]\begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 6 & 5 & 4 \\ 9 & 8 & 7 \end{bmatrix}

(2) c₂⁽²⁾(A) (將第 2 行乘以 2): [14341067169]\begin{bmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 4 & 10 & 6 \\ 7 & 16 & 9 \end{bmatrix}

(3) c₂₃⁽⁻¹⁾(A) (將第 3 行乘以 -1 加到第 2 行): [12−3345−6678−99]=[1−134−167−19]\begin{bmatrix} 1 & 2-3 & 3 \\ 4 & 5-6 & 6 \\ 7 & 8-9 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 4 & -1 & 6 \\ 7 & -1 & 9 \end{bmatrix}

31. 試對 A = [123235136]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 3 & 6 \end{bmatrix} 作 LDU 分解。

解答： LDU 分解是將 A 分解為 A = LDU，其中 L 是對角線為1的下三角矩陣，D 是對角矩陣，U 是對角線為1的上三角矩陣。

  1. 先作 LU 分解 A=[123235136]→[1230−1−1013]→[1230−1−1002]=UtempA = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 3 & 6 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} = U_{temp} L=[1002101−11]L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}
  2. 從 UtempU_{temp} 分離出 D 和 U D 是 UtempU_{temp} 的對角線元素所構成的對角矩陣： D=[1000−10002]D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} U 是將 UtempU_{temp} 的每一列除以其對角線元素得到： U=[1/12/13/10−1/−1−1/−1002/2]=[123011001]U = \begin{bmatrix} 1/1 & 2/1 & 3/1 \\ 0 & -1/-1 & -1/-1 \\ 0 & 0 & 2/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} LDU分解為： A=[1002101−11][1000−10002][123011001]A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
  1. 試對 A = [4262556511]\begin{bmatrix} 4 & 2 & 6 \\ 2 & 5 & 5 \\ 6 & 5 & 11 \end{bmatrix} 作喬列斯基分解。

解答： 喬列斯基分解將一個對稱正定矩陣 A 分解為 A=LLTA = LL^T，其中 L 是下三角矩陣。 令 L = [l1100l21l220l31l32l33]\begin{bmatrix} l_{11} & 0 & 0 \\ l_{21} & l_{22} & 0 \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} \end{bmatrix}

  • l11=a11=4=2l_{11} = \sqrt{a_{11}} = \sqrt{4} = 2
  • l21=a21/l11=2/2=1l_{21} = a_{21} / l_{11} = 2 / 2 = 1
  • l31=a31/l11=6/2=3l_{31} = a_{31} / l_{11} = 6 / 2 = 3
  • l22=a22−l212=5−12=4=2l_{22} = \sqrt{a_{22} - l_{21}^2} = \sqrt{5 - 1^2} = \sqrt{4} = 2
  • l32=(a32−l21l31)/l22=(5−1⋅3)/2=2/2=1l_{32} = (a_{32} - l_{21}l_{31}) / l_{22} = (5 - 1 \cdot 3) / 2 = 2 / 2 = 1
  • l33=a33−l312−l322=11−32−12=11−9−1=1=1l_{33} = \sqrt{a_{33} - l_{31}^2 - l_{32}^2} = \sqrt{11 - 3^2 - 1^2} = \sqrt{11 - 9 - 1} = \sqrt{1} = 1 所以 L=[200120311]L = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}
  1. 試判斷下列矩陣為正定矩陣、半正定矩陣、負定矩陣、半負定矩陣或者都不是：

解答： (1) A = [1−1−11]\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}: D1=1D_1=1, D2=0D_2=0. 主子行列式 ≥0\ge 0. 正半定矩陣。 (2) B = [2223]\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}: D1=2D_1=2, D2=2D_2=2. 主子行列式 >0> 0. 正定矩陣。 (3) C = [1441]\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}: D1=1D_1=1, D2=−15D_2=-15. 主子行列式有正有負. 都不是 (不定矩陣)。 (4) D = [21−1−2]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}: 非對稱矩陣。其特徵值為 ±5\pm\sqrt{5}，有正有負. 都不是 (不定矩陣)。 (5) E = [−122−4]\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}: 特徵值為 0, -5. 特徵值 ≤0\le 0. 負半定矩陣。

  1. 試判斷資產報酬間的變異數-共變異數矩陣 A = [8678]\begin{bmatrix} 8 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} 是否為合理?

解答： 不合理。一個有效的變異數-共變異數矩陣必須是對稱的，即 aij=ajia_{ij} = a_{ji}。 在此矩陣中，a12=6a_{12} = 6 而 a21=7a_{21} = 7，兩者不相等，因此該矩陣不是對稱矩陣，不是一個合理的共變異數矩陣。

  1. 試判斷下列資產報酬間的變異數-共變異數矩陣是否為合理?

解答： (1) A = [0.3−0.10−0.10.2−0.10−0.10.3]\begin{bmatrix} 0.3 & -0.1 & 0 \\ -0.1 & 0.2 & -0.1 \\ 0 & -0.1 & 0.3 \end{bmatrix}:

  • 對稱性：是。
  • 正半定性 (檢查主子行列式):
    • D1=0.3>0D_1 = 0.3 > 0
    • D2=(0.3)(0.2)−(−0.1)2=0.05>0D_2 = (0.3)(0.2) - (-0.1)^2 = 0.05 > 0
    • D3=0.3(0.06−0.01)+0.1(−0.03)=0.015−0.003=0.012>0D_3 = 0.3(0.06 - 0.01) + 0.1(-0.03) = 0.015 - 0.003 = 0.012 > 0 此矩陣為正定矩陣。是合理的共變異數矩陣。

(2) B = [0.10000.2000−0.3]\begin{bmatrix} 0.1 & 0 & 0 \\ 0 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0 & -0.3 \end{bmatrix}:

  • 對稱性：是。
  • 正半定性 (檢查主子行列式):
    • D1=0.1>0D_1 = 0.1 > 0
    • D2=(0.1)(0.2)=0.02>0D_2 = (0.1)(0.2) = 0.02 > 0
    • D3=(0.1)(0.2)(−0.3)=−0.006<0D_3 = (0.1)(0.2)(-0.3) = -0.006 < 0 由於變異數 (對角線元素) 不可為負，且矩陣不是正半定的，因此不是合理的共變異數矩陣。
  1. 假設我們有三個資產，現在及未來三個狀態的價格如下圖所示：(題目為第37題的設定)

解答： 此題為第37題的背景設定，本身並無須求解的問題。它定義了資產在t=0的初始價格，以及在t=1時三種可能狀態下的價格。

  1. 承上題，假設有個選擇權在到期日t=1時，報酬函數為 max((S₁+S₂+S₃)/3 - 1, 0)，試求出此選擇權在t=0時的價格 (複製成本)。

解答： 此題為典型的單期權定價問題，我們需要建立一個複製投資組合 (replicating portfolio)，使其在t=1時所有狀態下的價值都等於該選擇權的報酬。該投資組合在t=0的成本即為選擇權的價格。

  1. 定義 t=0 和 t=1 的價格矩陣

    • t=0 價格向量: P0=[153]P_0 = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 3 \end{bmatrix}
    • t=1 價格矩陣 (行代表狀態): P1=[111348234]P_1 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 8 \\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}

  2. 計算選擇權在 t=1 各狀態的報酬 (Payoff)

    • 狀態 1 (價格 1, 3, 2): 均價 = (1+3+2)/3 = 2. 報酬 = max(2 - 1, 0) = 1.
    • 狀態 2 (價格 1, 4, 3): 均價 = (1+4+3)/3 = 8/3. 報酬 = max(8/3 - 1, 0) = 5/3.
    • 狀態 3 (價格 1, 8, 4): 均價 = (1+8+4)/3 = 13/3. 報酬 = max(13/3 - 1, 0) = 10/3.
    • 報酬向量: C=[15/310/3]C = \begin{bmatrix} 1 \\ 5/3 \\ 10/3 \end{bmatrix}

  3. 求解複製組合 h = [h₁, h₂, h₃]ᵀ 我們需要解方程式 P1Th=CP_1^T h = C: [132143184][h1h2h3]=[15/310/3]\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 8 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \\ h_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 5/3 \\ 10/3 \end{bmatrix} 解此線性方程組，得到複製組合為： h=[−2/31/31/3]h = \begin{bmatrix} -2/3 \\ 1/3 \\ 1/3 \end{bmatrix} (即賣空 2/3 單位的資產1，買入 1/3 單位的資產2，買入 1/3 單位的資產3)

  4. 計算 t=0 的選擇權價格 價格是建立此組合在 t=0 的成本： 價格 = P0Th=[153][−2/31/31/3]=1(−23)+5(13)+3(13)=−2+5+33=63=2P_0^T h = \begin{bmatrix} 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2/3 \\ 1/3 \\ 1/3 \end{bmatrix} = 1(-\frac{2}{3}) + 5(\frac{1}{3}) + 3(\frac{1}{3}) = \frac{-2 + 5 + 3}{3} = \frac{6}{3} = 2

此選擇權在 t=0 時的價格為 2。

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