財金數量方法習題 - Gemini Pro 2.5 解答 Chapter 04

2025-07-10 16:07:58 Category Icon 未分類

財金數量方法習題 - Gemini Pro 2.5 解答 Chapter 04

1. 已知兩點 A(4, 5)、B(-3, 2)，試求有向線段 AB 的長度。

解答：

  1. 首先，計算由 A 點指向 B 點的向量 AB： AB = B - A = (-3 - 4, 2 - 5) = (-7, -3)
  2. 接著，計算此向量的長度（範數 Norm）： ||AB|| = sqrt((-7)² + (-3)²) = sqrt(49 + 9) = sqrt(58)

2. 向量 a = (-4, 3), b = (2, -5)，求 a, b 的內積。

解答： 向量內積（點積）的計算方式為對應分量相乘後再相加。 a · b = (-4)(2) + (3)(-5) = -8 - 15 = -23

3. 設有兩向量 u = [2, 3, -1]ᵀ, v = [5, 4, -2]ᵀ。試求 (1) 3u - 4v (2) u·v (3) v 的單位向量。

解答： (1) 3u - 4v 3u = 3 * [2, 3, -1] = [6, 9, -3] 4v = 4 * [5, 4, -2] = [20, 16, -8] 3u - 4v = [6 - 20, 9 - 16, -3 - (-8)] = [-14, -7, 5]

(2) u · v u · v = (2)(5) + (3)(4) + (-1)(-2) = 10 + 12 + 2 = 24

(3) v 的單位向量 首先計算 v 的長度 ||v||： ||v|| = sqrt(5² + 4² + (-2)²) = sqrt(25 + 16 + 4) = sqrt(45) = 3√5 單位向量 = v / ||v|| = (1 / (3√5)) * [5, 4, -2] 或 [5/(3√5), 4/(3√5), -2/(3√5)]

4. 若 S = {(a₁, a₂), a₁, a₂ ∈ R}，對 (a₁, a₂) , (b₁, b₂) ∈ S, c ∈ R。 (a₁, a₂) + (b₁, b₂) = (a₁+3b₁, a₂+b₂) 且 c(a₁, a₂) = (ca₁, ca₂)。試判斷 S 是否為向量空間?

解答： S 不是向量空間。 要成為向量空間，其加法與純量乘法運算必須滿足十個公理。我們可以檢驗其中幾個： 以加法交換律為例：u + v = v + u 令 u = (a₁, a₂)，v = (b₁, b₂) u + v = (a₁ + 3b₁, a₂ + b₂) v + u = (b₁ + 3a₁, b₂ + a₂) 一般情況下，(a₁ + 3b₁, a₂ + b₂) ≠ (b₁ + 3a₁, b₂ + a₂)。例如，若 u=(1,0), v=(2,0)，則 u+v=(1+32, 0)=(7,0)，而 v+u=(2+31, 0)=(5,0)。 因為加法交換律不成立，所以 S 不是向量空間。

5. 設 R² = {(x, y)| x,y∈R}。試判斷下列各項中的子集是否為 R² 的子空間： (1) W₁ = {(x, y) | x, 3y ∈ R} (2) W₂ = {(x, y) | x² + y² = 0}

解答： 一個子集 W 是向量空間 V 的子空間，若滿足： a. 零向量在 W 中。 b. W 對向量加法封閉。 c. W 對純量乘法封閉。

(1) W₁ = {(x, y) | x, 3y ∈ R} 這個條件 x, 3y ∈ R 恆為真，因為如果 y 是實數，3y 也必定是實數。所以 W₁ 就是整個 R²。 是子空間，因為 R² 本身是 R² 的子空間。

(2) W₂ = {(x, y) | x² + y² = 0} 在實數系中，x² ≥ 0 且 y² ≥ 0。若 x² + y² = 0，則唯一解為 x=0 且 y=0。 所以 W₂ = {(0, 0)}，只包含零向量。 a. 零向量 (0,0) 在 W₂ 中。 b. 加法封閉：(0,0) + (0,0) = (0,0)，仍在 W₂ 中。 c. 純量乘法封閉：c * (0,0) = (0,0)，仍在 W₂ 中。 是子空間。

6. 試判斷下列 V 中的子集是否為 V 的子空間： (1) V = R³, S₁ = {(x, 3x-5z, z) | x, z ∈ R} (2) V = R², S₂ = {(x, y) ∈ R² | 3x + y = 2} (3) V = R², S₃ = {(2x, 3x) | x ∈ R} (4) V = R³, S₄ = {(x, y, z) ∈ R³ | 2x = 3y}

解答： (1) 是子空間。 a. 若 x=0, z=0，則 (0, 0, 0) ∈ S₁。 b. 加法封閉：令 u=(x₁, 3x₁-5z₁, z₁), v=(x₂, 3x₂-5z₂, z₂)。u+v = (x₁+x₂, 3(x₁+x₂)-5(z₁+z₂), z₁+z₂)。此形式符合 S₁ 的定義。 c. 純量乘法封閉：c*u = (cx₁, c(3x₁-5z₁), cz₁) = (cx₁, 3(cx₁)-5(cz₁), cz₁)。此形式符合 S₁ 的定義。

(2) 不是子空間。 a. 零向量 (0,0) 不在 S₂ 中，因為 3(0) + 0 = 0 ≠ 2。不滿足子空間必要條件。

(3) 是子空間。 a. 若 x=0，則 (0,0) ∈ S₃。 b. 加法封閉：令 u=(2x₁, 3x₁), v=(2x₂, 3x₂)。u+v = (2(x₁+x₂), 3(x₁+x₂))。令 x’ = x₁+x₂，則 u+v = (2x’, 3x’) ∈ S₃。 c. 純量乘法封閉：cu = (c(2x₁), c(3x₁)) = (2(cx₁), 3(cx₁))。令 x” = cx₁，則 cu = (2x”, 3x”) ∈ S₃。

(4) 是子空間。 a. (0,0,0) 滿足 2(0) = 3(0)，所以在 S₄ 中。 b. 加法封閉：令 u=(x₁,y₁,z₁), v=(x₂,y₂,z₂) 且 2x₁=3y₁, 2x₂=3y₂。u+v = (x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂)。2(x₁+x₂) = 2x₁+2x₂ = 3y₁+3y₂ = 3(y₁+y₂)。所以 u+v ∈ S₄。 c. 純量乘法封閉：cu = (cx₁,cy₁,cz₁)。2(cx₁) = c(2x₁) = c(3y₁) = 3(cy₁)。所以 cu ∈ S₄。

7. 在 R³ 中，令 v₁ = (1, 0, 0), v₂ = (0, 1, 0), v₃ = (0, 0, 1)，試證明向量 (3, 2, 4) 是 v₁, v₂, v₃ 的線性組合。

解答： 要證明 (3, 2, 4) 是 v₁, v₂, v₃ 的線性組合，我們需要找到純量 c₁, c₂, c₃ 使得： c₁v₁ + c₂v₂ + c₃v₃ = (3, 2, 4) c₁(1, 0, 0) + c₂(0, 1, 0) + c₃(0, 0, 1) = (3, 2, 4) (c₁, c₂, c₃) = (3, 2, 4) 顯然，c₁=3, c₂=2, c₃=4。因為我們找到了這樣一組純量，所以 (3, 2, 4) 是 v₁, v₂, v₃ 的線性組合。

8. 在 R³ 中，若 v₁ = (2, 0, 1), v₂ = (1, 3, 0), v₃ = (0, 2, -1)，試判斷 v₁, v₂, v₃ 是否能生成 R³？

解答： 要判斷三個 R³ 中的向量是否能生成 R³，我們可以檢查它們是否線性獨立。如果線性獨立，它們就能生成 R³。檢驗方法是將這些向量作為行或列構成一個方陣，計算其行列式。若行列式不為零，則向量線性獨立。 構成矩陣 A： A = | 2 1 0 | | 0 3 2 | | 1 0 -1 |

計算行列式 det(A)： det(A) = 2 * (3*(-1) - 20) - 1 * (0(-1) - 2*1) + 0 = 2 * (-3) - 1 * (-2) = -6 + 2 = -4 因為行列式 det(A) = -4 ≠ 0，所以向量 v₁, v₂, v₃ 線性獨立。三個線性獨立的向量在 R³ 中可以構成一組基底，因此它們可以生成 R³。

9. 試判斷 v₁=(0, 3, 1), v₂=(-3, 0, 1), v₃=(1, 2, -1) 是否為線性獨立？

解答： 同樣使用行列式法來判斷。將 v₁, v₂, v₃ 作為矩陣的行： A = | 0 3 1 | | -3 0 1 | | 1 2 -1 |

計算行列式 det(A)： det(A) = 0 * (0*(-1) - 12) - 3 * ((-3)(-1) - 1*1) + 1 * ((-3)2 - 01) = 0 - 3 * (3 - 1) + 1 * (-6) = -3 * (2) - 6 = -6 - 6 = -12 因為行列式 det(A) = -12 ≠ 0，所以這三個向量是線性獨立的。

10. 在 P₂(R) 中，多項式 p₁(x) = 2x² + x + 2, p₂(x) = 2x² + x + 3, p₃(x) = 6x² + 3x + 7。試問 p₁(x), p₂(x), p₃(x) 是否為線性獨立？

解答： 我們檢查是否存在不全為零的純量 c₁, c₂, c₃ 使得 c₁p₁(x) + c₂p₂(x) + c₃p₃(x) = 0。 c₁(2x² + x + 2) + c₂(2x² + x + 3) + c₃(6x² + 3x + 7) = 0 (2c₁ + 2c₂ + 6c₃)x² + (c₁ + c₂ + 3c₃)x + (2c₁ + 3c₂ + 7c₃) = 0 這必須對所有 x 都成立，因此各項係數必須為零：

  1. 2c₁ + 2c₂ + 6c₃ = 0 => c₁ + c₂ + 3c₃ = 0
  2. c₁ + c₂ + 3c₃ = 0
  3. 2c₁ + 3c₂ + 7c₃ = 0

由 (2) 可得 c₁ + c₂ = -3c₃。 將 (2) 代入 (3): 2(c₁ + c₂) + c₂ + 7c₃ = 0 2(-3c₃) + c₂ + 7c₃ = 0 -6c₃ + c₂ + 7c₃ = 0 c₂ + c₃ = 0 => c₂ = -c₃ 代入 c₁ + c₂ = -3c₃： c₁ + (-c₃) = -3c₃ => c₁ = -2c₃ 我們可以取 c₃ = 1，則 c₂ = -1，c₁ = -2。這是一組非零解。 例如，(-2)p₁(x) + (-1)p₂(x) + (1)p₃(x) = 0。 因此，這三個多項式不是線性獨立的（線性相依）。

另解：觀察可發現 p₃(x) = 2p₁(x) + p₂(x) 是錯誤的，但 p₃(x) = 3p₁(x) 是錯誤的，但 2p₁(x)+p₂(x) = 2(2x^2+x+2) + (2x^2+x+3) = 6x^2+3x+7 = p₃(x)。不對，是 1p1+2p2嗎? 也不對。是 c1+c2+3c3=0… 從 c₁ = -2c₃, c₂ = -c₃ 可知，-2p₁(x) - p₂(x) + p₃(x) = 0，即 p₃(x) = 2p₁(x) + p₂(x)。 驗算：2(2x²+x+2) + (2x²+x+3) = (4x²+2x+4) + (2x²+x+3) = 6x²+3x+7 = p₃(x)。 成立。所以他們是線性相依。

11. 在 R⁴ 中，試驗證 S = {(2,1,0,0), (0,-2,1,0), (0,0,1,-1), (0,0,0,1)} 是線性獨立。

解答： 將這四個 R⁴ 中的向量作為一個 4x4 矩陣的行： A = | 2 1 0 0 | | 0 -2 1 0 | | 0 0 1 -1 | | 0 0 0 1 |

這是一個上三角矩陣。其行列式等於對角線元素的乘積。 det(A) = 2 * (-2) * 1 * 1 = -4 因為行列式不為零 (det(A) ≠ 0)，所以這個向量集合 S 是線性獨立的。

12. 下列哪些集合內的元素，在 R³ 中彼此是線性獨立的？ (1) {[1, 0, 1]ᵀ, [0, 5, 3]ᵀ} (2) {[2, 1, -2]ᵀ, [3, 2, 0]ᵀ, [2, 0, 0]ᵀ} (3) {[1, -1, 1]ᵀ, [-1, 1, 1]ᵀ, [1, 1, -1]ᵀ, [1, -1, -1]ᵀ} (4) {[1, -1, 0]ᵀ, [0, 1, 3]ᵀ, [2, 1, 1]ᵀ} (5) {[1, 1, 1]ᵀ, [-1, -1, 1]ᵀ, [-1, 1, 2]ᵀ, [1, -1, 3]ᵀ}

解答： (1) 線性獨立。兩個向量只要不成比例就是線性獨立。顯然 [1, 0, 1]ᵀ 和 [0, 5, 3]ᵀ 不成比例。 (2) 線性獨立。計算行列式： | 2 3 2 | | 1 2 0 | |-2 0 0 | = -2 * (30 - 22) = -2 * (-4) = 8 ≠ 0。 (3) 線性相依。在 R³ 中，任何超過3個向量的集合必定是線性相依的。這裡有4個向量。 (4) 線性相依。計算行列式： | 1 0 2 | |-1 1 1 | | 0 3 1 | = 1 * (11 - 13) - 0 + 2 * ((-1)3 - 10) = 1*(-2) + 2*(-3) = -2 - 6 = -8 ≠ 0。 勘誤：此題應為線性獨立。 (5) 線性相依。在 R³ 中，有4個向量，必定線性相依。

總結：(1), (2), (4) 是線性獨立的。

13. 試寫出下列空間的標準基底： (1) R³ (2) M₂ₓ₂(R) (3) P₃(R)

解答： (1) R³ 的標準基底是： e₁ = (1, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0), e₃ = (0, 0, 1)

(2) M₂ₓ₂(R) (2x2實數矩陣空間) 的標準基底是： E₁₁ = [[1, 0], [0, 0]], E₁₂ = [[0, 1], [0, 0]], E₂₁ = [[0, 0], [1, 0]], E₂₂ = [[0, 0], [0, 1]]

(3) P₃(R) (次數小於等於3的實係數多項式空間) 的標準基底是： {1, x, x², x³}

14. 下列哪些集合可以形成 R³ 的一組基底？ (1) {[1, 0, 0]ᵀ, [1, 2, 0]ᵀ, [1, 2, 3]ᵀ} (2) {[2, 1, -1]ᵀ, [4, 3, -1]ᵀ, [0, 1, 1]ᵀ} (3) {[3, 2, 2]ᵀ, [-1, 2, 1]ᵀ, [0, 1, 0]ᵀ} (4) {[1, 0, -1]ᵀ, [0, 3, 1]ᵀ, [3, 4, 1]ᵀ}

解答： 要成為 R³ 的基底，集合中必須恰好有3個線性獨立的向量。我們用行列式法判斷。 (1) 行列式： | 1 1 1 | | 0 2 2 | | 0 0 3 | = 1 * 2 * 3 = 6 ≠ 0。 可以形成基底。

(2) 行列式： | 2 4 0 | | 1 3 1 | |-1 -1 1 | = 2 * (31 - 1(-1)) - 4 * (11 - 1(-1)) = 2*(4) - 4*(2) = 8 - 8 = 0。 不可以形成基底 (線性相依)。

(3) 行列式： | 3 -1 0 | | 2 2 1 | | 2 1 0 | = 3*(20 - 11) - (-1)(20 - 12) = 3(-1) + 1*(-2) = -3 - 2 = -5 ≠ 0。 可以形成基底。

(4) 行列式： | 1 0 3 | | 0 3 4 | |-1 1 1 | = 1 * (31 - 41) + 3 * (01 - 3(-1)) = 1*(-1) + 3*(3) = -1 + 9 = 8 ≠ 0。 可以形成基底。

15. 試問下列在 R⁴ 上的子空間維度是多少？ (1) {(a, b, c, d) ∈ R⁴ | d = a+b} (2) {(a, b, c, d) ∈ R⁴ | c = a-b, d = a+b}

解答： 維度 = 向量中自由變數的數量。 (1) 向量可以寫成 (a, b, c, a+b)。這裡的自由變數是 a, b, c。因此，維度是 3。 一組基底可以是： a=1, b=0, c=0 => (1, 0, 0, 1) a=0, b=1, c=0 => (0, 1, 0, 1) a=0, b=0, c=1 => (0, 0, 1, 0)

(2) 向量可以寫成 (a, b, a-b, a+b)。這裡的自由變數是 a, b。因此，維度是 2。 一組基底可以是： a=1, b=0 => (1, 0, 1, 1) a=0, b=1 => (0, 1, -1, 1)

16. 設 A_m×n 為一矩陣，定義 N(A) = {x ∈ Rⁿ | Ax = 0}，A = [[0,1,2,3],[0,1,2,4],[0,0,0,1]]。(N(A) 稱為 A 矩陣的零核空間) (1) 寫出 N(A) 空間中的一組基底。 (2) N(A) 是在 Rⁿ 幾維的空間？ (3) 寫出 N(A)ᵀ 空間中的一組基底。 (4) N(A)ᵀ 是在 Rⁿ 幾維的空間？

解答： 題目中的矩陣 A 是 3x4 矩陣。我們要解 Ax=0，其中 x = [x₁, x₂, x₃, x₄]ᵀ。 x₂ + 2x₃ + 3x₄ = 0 x₂ + 2x₃ + 4x₄ = 0 x₄ = 0 將 x₄=0 代入前兩式： x₂ + 2x₃ = 0 x₂ + 2x₃ = 0 這得到 x₂ = -2x₃。 變數 x₁ 沒有任何限制，是自由變數。變數 x₃ 也是自由變數。 解向量 x 可以寫成： x = [x₁, -2x₃, x₃, 0]ᵀ = x₁[1, 0, 0, 0]ᵀ + x₃[0, -2, 1, 0]ᵀ

(1) N(A) 的一組基底是 {[1, 0, 0, 0]ᵀ, [0, -2, 1, 0]ᵀ}。 (2) 因為基底有2個向量，所以 N(A) 的維度是 2。它是在 R⁴ 中的2維子空間。 (3) N(A)ᵀ 是 A 的列空間 (Row Space)。我們對 A 進行高斯消去法，得到行梯形式： R₂ = R₂ - R₁ => [[0,1,2,3],[0,0,0,1],[0,0,0,1]] R₃ = R₃ - R₂ => [[0,1,2,3],[0,0,0,1],[0,0,0,0]] 非零行是 {[0,1,2,3], [0,0,0,1]}。這就是A 的列空間的一組基底。 (4) 因為基底有2個向量，所以 A 的列空間（N(Aᵀ) 在此題意下應為 A 的列空間，即 Range(Aᵀ)）的維度是 2。

17. 設 Pₙ為一個個收集所有次數實有有 n 次的實係數多項式，試判斷下列敘述哪些是可以成為 P₄ 的子空間。(只要判斷對錯，對的打Ｏ，錯的打Ｘ) (1) 在 P₄ 中，且最高次方式剛好是三次的多項式。 (2) 在 P₄ 中，且最高次方剛好都是三次的多項式。 (3) 在 P₄ 中，且 P(0) = 0。 (4) 在 P₄ 中，且至少有ㄧ實根的多項式。

解答： P₄ 指次數小於等於 4 的多項式空間。 (1) Ｘ。這個集合不包含零多項式（零多項式沒有次數或次數為-∞），所以不是子空間。 (2) Ｘ。同 (1)，這個集合也不包含零多項式。 (3) Ｏ。 a. 零多項式 P(x)=0 滿足 P(0)=0。 b. 加法封閉：若 P(0)=0, Q(0)=0，則 (P+Q)(0) = P(0)+Q(0) = 0+0=0。 c. 純量乘法封閉：若 P(0)=0，則 (cP)(0) = cP(0) = c0=0。 (4) Ｘ。不滿足加法封閉性。例如 P(x) = x²-1 (根為±1) 和 Q(x) = x²+1 (沒有實根) 都在 P₄ 中，但 P(x) 在此集合中，Q(x) 不在。考慮 P(x)=x-1，Q(x)=x-2，都在集合中。但 (P+Q)(x) = 2x-3 也在集合中。考慮 P(x)=x², Q(x)=(x-1)²。P(x)有實根0，Q(x)有實根1。但 (P+Q)(x) = x² + x² - 2x + 1 = 2x² - 2x + 1，其判別式 D = (-2)² - 421 = 4-8 = -4 < 0，沒有實根。所以不滿足加法封閉性。

18. 設 C[a, b] 為一個個收集任意在閉區間 [a, b] 連續的函數集合，在此集合上分別定義的運算如下：加法：(f+g)(x) = f(x)+g(x)，係數積：(αf)(x) = αf(x)。試問結合這兩個運算的 C[a, b] 集合是否滿足向量空間的定義？

解答： 是。C[a, b] 在標準的函數加法與純量乘法下是一個標準的函數向量空間。

  • 兩個連續函數的和仍然是連續函數（加法封閉）。
  • 一個連續函數的純量倍數仍然是連續函數（純量乘法封閉）。
  • 零函數 f(x)=0 是連續函數，作為加法單位元素。
  • 每個函數 f 都有加法反元素 -f。
  • 其他結合律、分配律等公理都成立，這些都是實數運算的基本性質。

19. 設 Pₙ為一個收集所有小於等於 n 次的實係數多項式，我們在此集合上分別定義的運算如下：加法：(f+g)(x) = f(x)+g(x)，係數積：(αf)(x) = αf(x)。試問結合這兩個運算的 Pₙ[R] 集合是否滿足向量空間的定義？

解答： 是。Pₙ 是向量空間。

  • 兩個次數≤n的多項式的和，其次數也≤n（加法封閉）。
  • 一個次數≤n的多項式的純量倍數，其次數也≤n（純量乘法封閉）。
  • 零多項式 P(x)=0 在 Pₙ 中。
  • 所有向量空間公理都滿足。

20. 設 S 為一個收集任意實數的有序對集合，我們在此集合上分別定義的運算如下：加法：(x₁, x₂) + (y₁, y₂) = (x₁+y₁, 0)，係數積：α(x₁, x₂) = (αx₁, αx₂)。試問結合這兩個運算的 S 集合是否滿足向量空間的定義？

解答： 否。這個集合不是向量空間。 我們可以檢查公理。一個明顯會失敗的是加法單位元素。 假設存在零向量 e = (e₁, e₂)。那麼對於任意向量 v = (x₁, x₂)，需要滿足 v + e = v。 (x₁, x₂) + (e₁, e₂) = (x₁ + e₁, 0) 我們需要 (x₁ + e₁, 0) = (x₁, x₂)。 這要求 x₂ = 0。但這必須對 任意 向量 v 都成立，而 x₂ 不一定為 0。 因此，不存在加法單位元素（除非我們將空間限制為第二分量恆為0的向量）。 另外，加法封閉性也有問題。結果向量的第二分量永遠是0，但 S 允許第二分量不是0，所以加法運算的結果不一定仍在原來的集合 S 中（除非 S 本身就是 {(x, 0) | x in R}）。但題目說 S 是「任意實數的有序對集合」，即 R²。 (1, 2) + (3, 4) = (4, 0)。(1,2) 和 (3,4) 都在 S 中，(4,0) 也在 S 中。封閉性似乎沒問題。 但加法單位元素的問題是致命的。

21. 試證明一個對稱且正定矩陣，其反矩陣也必是對稱且正定。

解答： 設 A 是一個對稱 (A = Aᵀ) 且正定 (對所有非零向量 x，xᵀAx > 0) 的矩陣。

  1. 證明 A⁻¹ 是對稱的： (A⁻¹)ᵀ = (Aᵀ)⁻¹ (這是反矩陣和轉置的性質) 因為 A 是對稱的，A = Aᵀ，所以 (A⁻¹)ᵀ = A⁻¹ 因此，A⁻¹ 也是對稱矩陣。

  2. 證明 A⁻¹ 是正定的： 我們要證明對任意非零向量 y，yᵀA⁻¹y > 0。 令 y = Ax。因為 A 可逆且 y ≠ 0，所以 x = A⁻¹y 也必為非零向量。 將 y = Ax 代入表達式： yᵀA⁻¹y = (Ax)ᵀ A⁻¹ (Ax) = xᵀAᵀ A⁻¹ Ax 因為 A 是對稱的 (Aᵀ = A)，所以： = xᵀA A⁻¹ Ax = xᵀ I Ax = xᵀx = ||x||² 因為 x 是非零向量，其範數的平方 ||x||² 必大於 0。 所以 yᵀA⁻¹y > 0。 因此，A⁻¹ 也是正定矩陣。 證明完畢。

22. 試問能不能定義一個個矩陣的負平方根，如果可以，則所需條件為何？

解答： 可以，但通常只在特定條件下有意義。一個矩陣 B 被稱為另一個矩陣 A 的負平方根，如果 B² = -A。 所需條件主要取決於我們希望 B 具有什麼性質。

  1. 在實數域矩陣中： 若 A 是正定矩陣 I (單位矩陣)，我們想找 B 使 B² = -I。 在實數 2x2 矩陣中，令 B = [[0, 1], [-1, 0]]。 B² = [[0, 1], [-1, 0]] * [[0, 1], [-1, 0]] = [[-1, 0], [0, -1]] = -I。 所以是可能的。一般來說，如果矩陣 A 的特徵值都是負實數或成對的共軛複數，則可能存在實矩陣 B 使得 B² = A。因此，要找 B² = -A，我們需要 -A 的特徵值是負實數或成對的共軛複數。

  2. 在複數域矩陣中： 在複數域中，任何矩陣 A 都有平方根。因此，任何矩陣 A 也都有負平方根，因為我們可以先找到 -A 的平方根。例如，B 是 -A 的平方根，則 B² = -A。 條件：在複數域中，不需要特殊條件，任何方陣都有負平方根。

總結：在實矩陣的範疇下，條件較為苛刻，需要 -A 具有特定的譜結構。在複數矩陣範疇下，總是可以定義的。

23. 設 A = [[4, 2], [2, 4]]，試對 A 做喬列斯基分解以及平方根分解。

解答： A 是對稱正定矩陣 (特徵值為 6 和 2)，可以進行這兩種分解。

  1. 喬列斯基分解 (Cholesky Decomposition) 我們要找一個下三角矩陣 L 使得 A = LLᵀ。 設 L = [[a, 0], [b, c]]。 LLᵀ = [[a, 0], [b, c]] * [[a, b], [0, c]] = [[a², ab], [ab, b²+c²]] 與 A [[4, 2], [2, 4]] 比較：

    • a² = 4 => a = 2
    • ab = 2 => 2b = 2 => b = 1
    • b² + c² = 4 => 1² + c² = 4 => c² = 3 => c = √3 所以，L = [[2, 0], [1, √3]]。

  2. 平方根分解 (Matrix Square Root) 我們要找一個對稱矩陣 B 使得 B² = A。這通常通過對角化來完成。 a. 求特徵值和特徵向量： det(A - λI) = (4-λ)² - 4 = λ² - 8λ + 12 = (λ-6)(λ-2) = 0。 特徵值 λ₁ = 6, λ₂ = 2。 對 λ₁=6: (A-6I)v = 0 => [[-2, 2], [2, -2]]v = 0。特徵向量 v₁ = [1, 1]ᵀ。 對 λ₂=2: (A-2I)v = 0 => [[2, 2], [2, 2]]v = 0。特徵向量 v₂ = [1, -1]ᵀ。 b. 標準化特徵向量： u₁ = (1/√2)[1, 1]ᵀ u₂ = (1/√2)[1, -1]ᵀ c. 構造 P 和 D： P = [[1/√2, 1/√2], [1/√2, -1/√2]], D = [[6, 0], [0, 2]] A = PDPᵀ d. 計算 B = P√D Pᵀ: √D = [[√6, 0], [0, √2]] B = [[1/√2, 1/√2], [1/√2, -1/√2]] * [[√6, 0], [0, √2]] * [[1/√2, 1/√2], [1/√2, -1/√2]] = [[√6/√2, √2/√2], [√6/√2, -√2/√2]] * [[1/√2, 1/√2], [1/√2, -1/√2]] = [[√3, 1], [√3, -1]] * (1/√2) * [[1, 1], [1, -1]] = (1/√2) * [[√3+1, √3-1], [√3-1, √3+1]] 所以，B = (1/√2) * [[√3+1, √3-1], [√3-1, √3+1]]。

24. 設 X 為一個 n x p 的矩陣，且 X 的行向量彼此線性獨立，試證明 (XᵀX)⁻¹ 必定存在。

解答： X 的行向量彼此線性獨立 (X has linearly independent columns)，這意味著 X 的秩 (rank) 為 p (rank(X) = p)。這也意味著對於任何非零的 p x 1 向量 c，Xc ≠ 0。 我們要證明 XᵀX 可逆，即證明它的零空間只包含零向量。 假設存在一個非零向量 c 使得 (XᵀX)c = 0。 兩邊同時左乘 cᵀ： cᵀ(XᵀX)c = cᵀ(0) (Xc)ᵀ(Xc) = 0 令 y = Xc。則上式變為 yᵀy = 0。 yᵀy 是向量 y 中所有元素平方的和（||y||²）。這個和為 0 的唯一可能是向量 y 本身是零向量，即 y = 0。 所以 Xc = 0。 但題目給定 X 的行向量（columns）是線性獨立的，這意味著 Ax=0 的唯一解是 x=0。因此，Xc = 0 的唯一解是 c = 0。 這與我們一開始假設 c 是非零向量矛盾。 因此，不存在非零向量 c 使得 (XᵀX)c = 0。 這證明了 XᵀX 的零空間只包含零向量，所以 XᵀX 是可逆的，即 (XᵀX)⁻¹ 存在。

25. 試求函數 f(x, y) = -4x² - 2y² + 4xy + 4x + 8y - 100 的相對極值。

解答：

  1. 求一階偏導數並令其為零： ∂f/∂x = -8x + 4y + 4 = 0 => -2x + y + 1 = 0 (1) ∂f/∂y = -4y + 4x + 8 = 0 => x - y + 2 = 0 (2)
  2. 解聯立方程式： 將 (1) 和 (2) 相加： (-2x + y + 1) + (x - y + 2) = 0 -x + 3 = 0 => x = 3 代入 (2)：3 - y + 2 = 0 => y = 5 唯一的臨界點是 (3, 5)。
  3. 求二階偏導數並使用二階導數測試： ∂²f/∂x² = -8 ∂²f/∂y² = -4 ∂²f/∂x∂y = 4
  4. 計算 Hessian 矩陣的行列式 D： D(x, y) = (∂²f/∂x²) * (∂²f/∂y²) - (∂²f/∂x∂y)² D(3, 5) = (-8) * (-4) - (4)² = 32 - 16 = 16
  5. 判斷極值： 因為 D = 16 > 0，且 ∂²f/∂x² = -8 < 0，所以臨界點 (3, 5) 是相對極大值。
  6. 計算極大值： f(3, 5) = -4(3)² - 2(5)² + 4(3)(5) + 4(3) + 8(5) - 100 = -36 - 50 + 60 + 12 + 40 - 100 = -86 + 60 + 12 + 40 - 100 = -26 + 12 + 40 - 100 = -14 + 40 - 100 = 26 - 100 = -74

26. 設 X = [X₁, X₂]ᵀ 為兩相異資產的投資報酬率所組合的隨機向量，且資產間報酬率的相關性為 Cov(X₁, X₂) = 1，以及 Var(X₁) = 2, Var(X₂) = 4。試求兩組彼此不具有相關性的投資組合。

解答： 這題要求對共變異數矩陣進行對角化，找到的特徵向量即為不相關的投資組合（主成分）。

  1. 建立共變異數矩陣 Σ： Var(X₁) = 2, Var(X₂) = 4, Cov(X₁, X₂) = 1 Σ = [[Var(X₁), Cov(X₁,X₂)], [Cov(X₁,X₂), Var(X₂)]] = [[2, 1], [1, 4]]
  2. 求特徵值： det(Σ - λI) = (2-λ)(4-λ) - 1 = λ² - 6λ + 8 - 1 = λ² - 6λ + 7 = 0 λ = [ -(-6) ± sqrt((-6)² - 417) ] / 2 λ = [ 6 ± sqrt(36 - 28) ] / 2 = [ 6 ± sqrt(8) ] / 2 = 3 ± √2
  3. 求特徵向量：
    • 對於 λ₁ = 3 + √2： (Σ - λ₁I)v = [[2-(3+√2), 1], [1, 4-(3+√2)]]v = [[-1-√2, 1], [1, 1-√2]]v = 0 從第一行得 (-1-√2)x + y = 0，所以 y = (1+√2)x。 特徵向量 v₁ 可以是 [1, 1+√2]ᵀ。
    • 對於 λ₂ = 3 - √2： (Σ - λ₂I)v = [[2-(3-√2), 1], [1, 4-(3-√2)]]v = [[-1+√2, 1], [1, 1+√2]]v = 0 從第一行得 (-1+√2)x + y = 0，所以 y = (1-√2)x。 特徵向量 v₂ 可以是 [1, 1-√2]ᵀ。

這兩個特徵向量 v₁ 和 v₂ 代表了兩組不相關的投資組合。 第一組組合：以 1 : (1+√2) 的比例投資 X₁ 和 X₂。 第二組組合：以 1 : (1-√2) 的比例投資 X₁ 和 X₂。

27. 試求二次函數 f(x) = ax² + bx + c，使其與點 (-2, 2)、(-1, 0)、(0, 0)、(1, 0)、(2, 2) 有最小平方和。

解答： 這是一個最小平方法問題。我們要找到 a, b, c 使得誤差平方和 S = Σ(yᵢ - f(xᵢ))² 最小。 S = (2 - (a(-2)²+b(-2)+c))² + (0 - (a(-1)²+b(-1)+c))² + (0 - (a(0)²+b(0)+c))² + (0 - (a(1)²+b(1)+c))² + (2 - (a(2)²+b(2)+c))² S = (2 - (4a-2b+c))² + (0 - (a-b+c))² + (0 - c)² + (0 - (a+b+c))² + (2 - (4a+2b+c))²

注意到數據關於 y 軸對稱，我們可以預期 b=0。 令 b=0，則 f(x) = ax² + c。 S = (2 - (4a+c))² + (0 - (a+c))² + (0 - c)² + (0 - (a+c))² + (2 - (4a+c))² S = 2(2 - 4a - c)² + 2(a+c)² + c² 求偏導數並令其為零： ∂S/∂c = 22(2-4a-c)(-1) + 22(a+c) + 2c = -4(2-4a-c) + 4(a+c) + 2c = -8+16a+4c+4a+4c+2c = 20a+10c-8 = 0 => 10a + 5c = 4 (1) ∂S/∂a = 22(2-4a-c)(-4) + 22(a+c)(1) = -16(2-4a-c) + 4(a+c) = -32+64a+16c+4a+4c = 68a+20c-32 = 0 => 17a + 5c = 8 (2)

解聯立方程 (1) 和 (2)： (2) - (1): (17a+5c) - (10a+5c) = 8 - 4 => 7a = 4 => a = 4/7 代入 (1): 10(4/7) + 5c = 4 => 40/7 + 5c = 28/7 => 5c = -12/7 => c = -12/35 因為數據對稱，我們預期 b = 0。 所以，函數是 f(x) = (4/7)x² - 12/35。

28. 試求一函數 f(x) = a+bx，使其與點 (1,1), (4,4), (9,5), (16,6) 有最小平方和。

解答： 這是一個線性迴歸問題。我們使用正規方程 (Normal Equations)求解。 模型是 y = a + bx，可以寫成矩陣形式 Y = Xβ，其中 Y = [1, 4, 5, 6]ᵀ β = [a, b]ᵀ X = [[1, 1], [1, 4], [1, 9], [1, 16]] 正規方程為 (XᵀX)β = XᵀY。 XᵀX = [[1, 1, 1, 1], [1, 4, 9, 16]] * [[1, 1], [1, 4], [1, 9], [1, 16]] = [[4, 30], [30, 314]] XᵀY = [[1, 1, 1, 1], [1, 4, 9, 16]] * [1, 4, 5, 6]ᵀ = [1+4+5+6, 1+16+45+96]ᵀ = [16, 158]ᵀ 解方程 [[4, 30], [30, 314]] * [a, b]ᵀ = [16, 158]ᵀ 使用克萊姆法則或高斯消去法。 行列式 det(XᵀX) = 4 * 314 - 30 * 30 = 1256 - 900 = 356。 a = det([[16, 30], [158, 314]]) / 356 = (16314 - 30158) / 356 = (5024 - 4740) / 356 = 284 / 356 ≈ 0.7977 b = det([[4, 16], [30, 158]]) / 356 = (4158 - 1630) / 356 = (632 - 480) / 356 = 152 / 356 ≈ 0.4270 a = 284/356 = 71/89 b = 152/356 = 38/89 所以函數是 f(x) = 71/89 + (38/89)x。

29. A_m×n = [a₁, a₂, …, aₙ]，其中 a₁, a₂, …, aₙ 為此矩陣的行向量且假設 b∈Rᵐ，b∉CS(A)。 (1) 設 p 為向量 b 在 CS(A) 空間中的投影向量，試求 p。 (2) 若用 p 為 AX = b 的解，則應如何定義廣義反矩陣 e？ (3) 證明 e 與 CS(A) 正交。

解答： 此題應為 A 的各行為 aᵢ (columns)。 (1) 投影向量 p 向量 b 在 A 的行空間 (Column Space, CS(A)) 上的正交投影 p 由投影矩陣 P 作用於 b 得到。 投影矩陣 P = A(AᵀA)⁻¹Aᵀ。 因此，投影向量 p = A(AᵀA)⁻¹Aᵀb。 p 是 CS(A) 中最接近 b 的向量。

(2) 廣義反矩陣 題目中的 e 應該是指誤差向量 (error vector)，e = b - p。 用 p 取代 b，我們要解的是 Ax = p。這個方程組是相容的。 Ax = A(AᵀA)⁻¹Aᵀb 有無限多解，其中一個特解是 x = (AᵀA)⁻¹Aᵀb。 這個矩陣 (AᵀA)⁻¹Aᵀ 就是 Moore-Penrose 廣義反矩陣，記為 A⁺。 所以 x = A⁺b 是 Ax = p 的一個最小範數解。

(3) 證明 e 與 CS(A) 正交 誤差向量 e = b - p = b - A(AᵀA)⁻¹Aᵀb = (I - A(AᵀA)⁻¹Aᵀ)b。 要證明 e 與 CS(A) 正交，我們需要證明 e 與 CS(A) 中的任意向量 y 正交，即 yᵀe = 0。 CS(A) 中的任意向量 y 都可以寫成 y = Az (對於某個向量 z)。 yᵀe = (Az)ᵀ(b-p) = zᵀAᵀ(b - A(AᵀA)⁻¹Aᵀb) = zᵀ(Aᵀb - AᵀA(AᵀA)⁻¹Aᵀb) = zᵀ(Aᵀb - (AᵀA)(AᵀA)⁻¹Aᵀb) = zᵀ(Aᵀb - IAᵀb) = zᵀ(Aᵀb - Aᵀb) = zᵀ(0) = 0 因此，e 與 CS(A) 中的任何向量都正交。證明完畢。

30. 試問能否做出一個個矩陣包含 [1, -3]ᵀ, [2, 5]ᵀ 與 [-3, 1]ᵀ，零核空間包含 [1, 1]ᵀ。

解答： 這題應該是問：是否存在一個矩陣 A，使得其行空間 (Column Space) 包含 {[1, -3]ᵀ, [2, 5]ᵀ, [-3, 1]ᵀ}，且其零空間 (Null Space) 包含 [1, 1]ᵀ？ 設 A 為 m x n 矩陣。

  1. 零空間條件: N(A) 包含 [1, 1]ᵀ。這意味著 A 必須有 2 列 (n=2)，且 A * [1, 1]ᵀ = 0。 設 A = [[a, b], [c, d], …]。 A * [1, 1]ᵀ = [a+b, c+d, …]ᵀ = [0, 0, …]ᵀ。 這要求 A 的每一行，其元素之和必須為 0。例如 a+b=0, c+d=0…

  2. 行空間條件: CS(A) 包含 {[1, -3]ᵀ, [2, 5]ᵀ, [-3, 1]ᵀ}。 這意味著 A 必須至少有 2 行 (m≥2)。 CS(A) 是由 A 的行向量 (columns) 所張成的空間。既然 n=2，A 的行向量就是 [a, c, …]ᵀ 和 [b, d, …]ᵀ。 從(1)可知，b=-a, d=-c, …。所以 A 的第二行是第一行的 -1 倍。 因此，A 的行空間維度最多為 1，其基底可以是第一行 [a, c, …]ᵀ。 CS(A) = span{[a, c, …]ᵀ}。

  3. 矛盾 行空間條件要求的三個向量 [1, -3]ᵀ, [2, 5]ᵀ, [-3, 1]ᵀ 必須都位於 span{[a, c, …]ᵀ} 中。 這意味著這三個向量必須彼此共線（平行）。 然而，[1, -3]ᵀ 和 [2, 5]ᵀ 顯然不平行。 因此，行空間條件和零空間條件是互相矛盾的。

結論：不能做出滿足所有條件的矩陣。

31. 試問能否做出一個個矩陣，其每一列向量都跟所有行向量正交。

解答： 可以。 設 A 是一個 m x n 矩陣。 令 rᵢ 為第 i 個列向量 (row vector)，cⱼ 為第 j 個行向量 (column vector)。 題目的條件是 rᵢ ⋅ cⱼ = 0 對於所有的 i, j 均成立。 rᵢ ⋅ cⱼ (點積) 正是矩陣乘積 A² 的 (i, j) 元素 (如果 m=n)。 如果 m≠n，這個點積沒有直接定義。我們假設這是一個方陣 (m=n)。 條件 A² = O (零矩陣)。 任何一個非零的冪零矩陣 (nilpotent matrix) 且其冪零指數為 2 的矩陣都滿足此條件。

例子： 設 A = [[0, 1], [0, 0]]。

  • 列向量: r₁ = [0, 1], r₂ = [0, 0]
  • 行向量: c₁ = [0, 0]ᵀ, c₂ = [1, 0]ᵀ
  • 檢驗：
    • r₁ ⋅ c₁ = 00 + 10 = 0
    • r₁ ⋅ c₂ = 01 + 10 = 0
    • r₂ ⋅ c₁ = 00 + 00 = 0
    • r₂ ⋅ c₂ = 01 + 00 = 0 所有條件均滿足。 驗算 A²: A² = [[0, 1], [0, 0]] * [[0, 1], [0, 0]] = [[0, 0], [0, 0]] = O。

所以，可以做出這樣的矩陣。

32. 試求下列矩陣的秩、特徵值以及特徵向量。 (1) A = [[1, 2, 3], [0, 4, 5], [0, 0, 6]] (2) B = [[0, 0, 1], [0, 2, 0], [3, 0, 0]] (3) C = [[2, 2, 2], [2, 2, 2], [2, 2, 2]] (4) D = [[1, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 1], [1, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 1]]

解答： (1) A = [[1, 2, 3], [0, 4, 5], [0, 0, 6]]

  • 秩: 矩陣是行梯形式，有3個非零行，秩 = 3。
  • 特徵值: 對於三角矩陣，特徵值在對角線上。λ = 1, 4, 6。
  • 特徵向量:
    • λ=1: v₁=[1, 0, 0]ᵀ
    • λ=4: v₂=[2, 3, 0]ᵀ
    • λ=6: v₃=[13, 25, 10]ᵀ (求解 (A-6I)x=0)

(2) B = [[0, 0, 1], [0, 2, 0], [3, 0, 0]]

  • 秩: 行列式 = -2 * (0-3) = 6 ≠ 0。秩 = 3。
  • 特徵值: det(B-λI) = (-λ)(2-λ)(-λ) - 13(2-λ) = (2-λ)(λ²-3) = 0。λ = 2, √3, -√3。
  • 特徵向量:
    • λ=2: v₁=[0, 1, 0]ᵀ
    • λ=√3: v₂=[1, 0, √3]ᵀ
    • λ=-√3: v₃=[1, 0, -√3]ᵀ

(3) C = [[2, 2, 2], [2, 2, 2], [2, 2, 2]]

  • 秩: 所有行都相同，秩 = 1。
  • 特徵值: 秩為1的矩陣，其非零特徵值等於跡(trace)。tr(C)=2+2+2=6。因為秩為1，必有 n-1=2 個零特徵值。λ = 6, 0, 0。
  • 特徵向量:
    • λ=6: v₁=[1, 1, 1]ᵀ
    • λ=0: 對應的特徵空間是 x+y+z=0 的平面。基底可以是 v₂=[-1, 1, 0]ᵀ, v₃=[-1, 0, 1]ᵀ。

(4) D = [[1, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 1], [1, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 1]]

  • 秩: R3=R1, R4=R2。獨立的行只有2個。秩 = 2。
  • 特徵值: 秩為2，所以至少有 4-2=2 個零特徵值。觀察 D * [1,0,1,0]ᵀ = [2,0,2,0]ᵀ = 2*[1,0,1,0]ᵀ，所以 λ=2 是一個特徵值。 D * [0,1,0,1]ᵀ = [0,2,0,2]ᵀ = 2*[0,1,0,1]ᵀ，所以 λ=2 是另一個特徵值。λ = 2, 2, 0, 0。
  • 特徵向量:
    • λ=2: 特徵空間基底 v₁=[1,0,1,0]ᵀ, v₂=[0,1,0,1]ᵀ。
    • λ=0: 解 Dx=0，即 x₁+x₃=0, x₂+x₄=0。基底可以是 v₃=[1,0,-1,0]ᵀ, v₄=[0,1,0,-1]ᵀ。

33. 設 A = [[B, C], [0, D]]，且已知下列三個個矩陣 B 的特徵值為 1, 2，C 的特徵值為 3, 4，D 的特徵值為 5, 7。試求 A 的特徵值。

解答： 這是一個區塊上三角矩陣。其特徵值是其對角線區塊 B 和 D 的特徵值的聯集。 det(A - λI) = det([[B-λI, C], [0, D-λI]]) = det(B-λI) * det(D-λI)。 A 的特徵值就是 B 的特徵值和 D 的特徵值的集合。C 的特徵值與 A 的特徵值無關。 B 的特徵值: 1, 2 D 的特徵值: 5, 7 因此，A 的特徵值是 {1, 2, 5, 7}。

34. 設 A 為方陣，且 AᵀA 與 AAᵀ 的特徵值完全相同。試證明 A 與 AAᵀ 是相似的。(A 不一定可對角化)

解答： 題目應該是問 “試證明 AᵀA 與 AAᵀ 是相似的”。 這個陳述是成立的，但需要用到奇異值分解 (SVD)，這可能超出了基礎線代的範疇。 一個更基礎的證明思路是證明它們有相同的特徵多項式。 設 A 是 m x n 矩陣。AᵀA 是 n x n，AAᵀ 是 m x m。 考慮特徵多項式 det(AᵀA - λIₙ) 和 det(AAᵀ - λIₘ)。 如果我們能證明它們相等（當 m=n 時），或有特定關係（當 m≠n 時），就能證明它們有相同的特徵值。

當 m = n (A為方陣)時，證明如下： 若 λ=0，det(AᵀA) = det(Aᵀ)det(A) = det(A)²。det(AAᵀ) = det(A)det(Aᵀ) = det(A)²。它們同時為零或非零。 若 λ≠0，且 λ 為 AAᵀ 的一個特徵值，則存在非零向量 v 使得 AAᵀv = λv。 兩邊左乘 Aᵀ: Aᵀ(AAᵀv) = Aᵀ(λv) (AᵀA)(Aᵀv) = λ(Aᵀv) 令 w = Aᵀv。如果 w≠0，則 w 是 AᵀA 的特徵向量，對應的特徵值也是 λ。 我們需要證明 w = Aᵀv ≠ 0。假設 w=0，即 Aᵀv=0。則 AAᵀv = A(Aᵀv) = A(0) = 0。但 AAᵀv = λv，所以 λv = 0。因為 λ≠0，必有 v=0。這與 v 是非零特徵向量矛盾。 因此 w = Aᵀv ≠ 0。這證明了 AAᵀ 的任何非零特徵值也是 AᵀA 的特徵值。 同理可證 AᵀA 的任何非零特徵值也是 AAᵀ 的特徵值。 由於它們有完全相同的特徵值集合（包括重數），而題目又給了這個前提，我們直接使用。

要證明它們相似，需要找到可逆矩陣 P 使得 P⁻¹(AᵀA)P = AAᵀ。這在一般情況下不成立，除非 A 是正規矩陣 (AᵀA = AAᵀ)。 這個題目的陳述 “證明 A 與 AAᵀ 是相似的” 有誤，應為 “證明 AᵀA 與 AAᵀ 有相同的特徵值”。 如果是要證明相似，這通常不成立。例如，A=[[0,1],[0,0]]，AᵀA=[[0,0],[0,1]]，AAᵀ=[[1,0],[0,0]]，它們有相同特徵值{0,1}，但它們不相似（因為它們的 Jordan form 不同，或說秩不同）。

如果題目是 “若 A 可逆，證明 AᵀA 與 AAᵀ 相似” A 可逆，則 A⁻¹ 存在。 令 P = A。則 P⁻¹(AᵀA)P = A⁻¹(AᵀA)A = (A⁻¹Aᵀ)(AA) = (A⁻¹Aᵀ)A²。這不對。 考慮 A(AᵀA)A⁻¹ = AAᵀAA⁻¹ = AAᵀ。所以它們是相似的，變換矩陣是 A。

35. 試問是否存在一個線性變換 T: R³ → M₂ₓ₃，滿足 T((1, 1, 1)) = [[1, 1, 1], [1, 1, 1]], T((1, 1, 0)) = [[1, 1, 1], [2, 3, -1]], T((1, 0, 0)) = [[3, 1, 4], [?, ?, ?]]? 如果存在，請寫出 T。

解答： 題目中的 T((1,0,0)) 輸出矩陣不完整，這使得無法確定唯一的線性變換。我們假設 ”？” 是可以讓我們自由設定的數。 我們需要檢查定義域的向量 {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} 是否構成 R³ 的一組基底。 行列式 det([[1,1,1],[1,1,0],[1,0,0]]) = 1(0) - 1(0) + 1(-1) = -1 ≠ 0。 它們是線性獨立的，構成 R³ 的一組基底。 因此，存在且唯一存在 這樣一個線性變換。

要寫出 T(x, y, z)，我們先將 (x, y, z) 表示為基底的線性組合： (x, y, z) = c₁(1,1,1) + c₂(1,1,0) + c₃(1,0,0) x = c₁ + c₂ + c₃ y = c₁ + c₂ z = c₁ 解得：c₁ = z, c₂ = y - z, c₃ = x - y。 T(x, y, z) = c₁T(1,1,1) + c₂T(1,1,0) + c₃T(1,0,0) = z * [[1,1,1],[1,1,1]] + (y-z) * [[1,1,1],[2,3,-1]] + (x-y) * [[3,1,4],[a,b,c]] (假設 ? 為 a,b,c)

由於 T((1,0,0)) 不完整，我們無法給出唯一的 T(x, y, z) 的表達式。如果假設 T((1,0,0)) = [[3,1,4],[0,0,0]]，則可以寫出一個確定的 T。

36. 寫出線性函數的定義（或稱線性轉換、線性映射），並說明為何可加單位元素不元素透過線性轉換依然還是單位元素。

解答： 線性變換的定義： 設 V 和 W 是兩個向量空間。一個函數 T: V → W 被稱為線性變換，如果對於 V 中所有的向量 u, v 和所有純量 c，都滿足以下兩個條件：

  1. 可加性: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. 齊次性: T(cu) = cT(u)

證明單位元素（零向量）的映射： 我們要證明，如果 T 是一個線性變換，則 T(0ᵥ) = 0ᵂ，其中 0ᵥ 是 V 的零向量，0ᵂ 是 W 的零向量。 證明1（使用齊次性）： 取純量 c = 0。 T(0ᵥ) = T(0 * v) (對於任意 v ∈ V) = 0 * T(v) (根據齊次性) = 0ᵂ (任何向量乘以純量0都得到零向量)

證明2（使用可加性）： T(0ᵥ) = T(0ᵥ + 0ᵥ) (零向量的性質) = T(0ᵥ) + T(0ᵥ) (根據可加性) 現在我們有方程 T(0ᵥ) = T(0ᵥ) + T(0ᵥ)。在向量空間 W 中，兩邊同時減去 T(0ᵥ)，得到： 0ᵂ = T(0ᵥ) 證明完畢。

37. 設 T: R² → R² 且 T(a₁, a₂) = (-3a₁+a₂, 2a₁-a₂)，試驗證 T 是線性轉換。

解答： 我們要驗證 T 滿足可加性和齊次性。 設 u = (a₁, a₂), v = (b₁, b₂)。

  1. 可加性: T(u + v) = T(u) + T(v)？

    • 左邊: T(u+v) = T(a₁+b₁, a₂+b₂) = (-3(a₁+b₁) + (a₂+b₂), 2(a₁+b₁) - (a₂+b₂)) = (-3a₁-3b₁+a₂+b₂, 2a₁+2b₁-a₂-b₂)
    • 右邊: T(u) + T(v) = (-3a₁+a₂, 2a₁-a₂) + (-3b₁+b₂, 2b₁-b₂) = (-3a₁+a₂-3b₁+b₂, 2a₁-a₂+2b₁-b₂) 左邊 = 右邊，所以可加性成立。

  2. 齊次性: T(cu) = cT(u)？

    • 左邊: T(cu) = T(ca₁, ca₂) = (-3(ca₁) + (ca₂), 2(ca₁) - (ca₂)) = (c(-3a₁+a₂), c(2a₁-a₂))
    • 右邊: cT(u) = c(-3a₁+a₂, 2a₁-a₂) = (c(-3a₁+a₂), c(2a₁-a₂)) 左邊 = 右邊，所以齊次性成立。

因為 T 滿足可加性和齊次性，所以 T 是一個線性轉換。

38. 試驗證下列的函數是否為線性函數。 (1) T: R² → R, 定義 T((x, y)) = 3x + 4y (2) T: R² → R², 定義 T((x, y)) = (x², y²) (3) T: R² → R², 定義 T((x, y)) = (x+y, x+2y) (4) T: R² → R², 定義 T((x, y)) = (x+1, y+2)

解答： (1) 是線性函數。 - T(u+v) = 3(x₁+x₂)+4(y₁+y₂) = (3x₁+4y₁)+(3x₂+4y₂) = T(u)+T(v) - T(cu) = 3(cx)+4(cy) = c(3x+4y) = cT(u) (2) 不是線性函數。 - 不滿足齊次性：T(c(x,y)) = T(cx, cy) = ((cx)², (cy)²) = (c²x², c²y²)。 - 而 cT(x,y) = c(x², y²) = (cx², cy²)。 - c²(x², y²) ≠ c(x², y²) (除非 c=0 or 1)。 (3) 是線性函數。 - T(u+v) = (x₁+x₂+y₁+y₂, x₁+x₂+2(y₁+y₂)) = (x₁+y₁, x₁+2y₁) + (x₂+y₂, x₂+2y₂) = T(u)+T(v) - T(cu) = (cx+cy, cx+2cy) = c(x+y, x+2y) = cT(u) (4) 不是線性函數。 - 不滿足 T(0)=0。T(0,0) = (0+1, 0+2) = (1,2) ≠ (0,0)。任何不將零向量映射到零向量的變換都不是線性的。

39. 設 V 與 W 為兩個佈於相同體上的向量空間，今有一線性變換 T: V → W。 (1) 試問如何判斷此線性變換是一對一函數。 (2) 試問如何判斷此線性變換是映成函數。

解答： (1) 判斷一對一 (Injective) 一個線性變換 T: V → W 是一對一的，若且唯若其 核 (Kernel) 或零空間 (Null Space) 只包含零向量。 Ker(T) = {v ∈ V | T(v) = 0ᵂ} 判斷方法：Ker(T) = {0ᵥ}。 這等價於說，如果 T(u) = T(v)，則必有 u = v。

(2) 判斷映成 (Surjective/Onto) 一個線性變換 T: V → W 是映成的，若且唯若其 值域 (Range) 或像 (Image) 等於整個共定義域 W。 Range(T) = {w ∈ W | 存在 v ∈ V 使得 T(v) = w} 判斷方法：Range(T) = W。 這等價於說，值域的維度等於共定義域的維度：dim(Range(T)) = dim(W)。 根據秩-零度定理 (Rank-Nullity Theorem)，dim(V) = dim(Ker(T)) + dim(Range(T))。

40. A, B, C 為三個個矩陣，已知 B, C 的反矩陣存在，BAC 的矩陣乘法有定義。 (1) 證明 rank(BAC) = rank(A) (2) 證明 rank(A) = rank(Aᵀ) = rank(AAᵀ) = rank(AᵀA) (Hint: 證明 rank(A) = rank(Aᵀ)，再證明 rank(A) = rank(AᵀA))

解答： (1) 證明 rank(BAC) = rank(A) 一個矩陣左乘或右乘一個可逆矩陣，其秩不變。

  • 步驟1: 證明 rank(AC) = rank(A) 因為 C 可逆，Range(AC) = Range(A)。直觀上，C 只是對 A 的行向量做可逆的線性組合，不改變其張成的空間維度。所以 rank(AC) = rank(A)。
  • 步驟2: 證明 rank(BA) = rank(A) 因為 B 可逆，B 也是行可逆的，Bᵀ 可逆。rank(BA) = rank((BA)ᵀ) = rank(AᵀBᵀ)。因為 Bᵀ 可逆，根據步驟1的結論，rank(AᵀBᵀ) = rank(Aᵀ)。而 rank(Aᵀ) = rank(A)。所以 rank(BA) = rank(A)。
  • 結合: rank(BAC) = rank((BA)C)。根據步驟1，這等於 rank(BA)。 根據步驟2，rank(BA) = rank(A)。 因此，rank(BAC) = rank(A)。

(2) 證明 rank(A) = rank(Aᵀ) = rank(AAᵀ) = rank(AᵀA)

  • 證明 rank(A) = rank(Aᵀ)： A 的秩是其行空間的維度，也是其列空間的維度。A 的列空間是 Aᵀ 的行空間。因此，rank(A) = dim(Col(A)) = dim(Row(Aᵀ)) = rank(Aᵀ)。這是線性代數的基本定理。

  • 證明 rank(A) = rank(AᵀA) (使用零空間) 我們要證明 A 和 AᵀA 有相同的零空間，即 N(A) = N(AᵀA)。

    • 若 x ∈ N(A)，則 Ax = 0。那麼 AᵀAx = Aᵀ(0) = 0，所以 x ∈ N(AᵀA)。因此 N(A) ⊆ N(AᵀA)。
    • 若 x ∈ N(AᵀA)，則 AᵀAx = 0。兩邊左乘 xᵀ，得 xᵀAᵀAx = 0，即 (Ax)ᵀ(Ax) = 0，也就是 ||Ax||² = 0。這意味著 Ax = 0，所以 x ∈ N(A)。因此 N(AᵀA) ⊆ N(A)。
    • 綜上，N(A) = N(AᵀA)。
    • 根據秩-零度定理，rank(M) = n - dim(N(M)) (n是列數)。因為 A 和 AᵀA 有相同的列數和相同的零空間維度，所以它們的秩相同。rank(A) = rank(AᵀA)。

  • 證明 rank(A) = rank(AAᵀ) 將上述證明中的 A 換成 Aᵀ。 我們已經證明 rank(M) = rank(MᵀM)，所以 rank(Aᵀ) = rank((Aᵀ)ᵀAᵀ) = rank(AAᵀ)。 又因為 rank(A) = rank(Aᵀ)，所以 rank(A) = rank(AAᵀ)。 證明完畢。

41. 試證明矩陣 A = [[-1, 1, 0], [1, -1, 0], [0, 0, -1]] 為半負定矩陣。

解答： 一個對稱矩陣是半負定的 (negative semi-definite)，如果其所有的特徵值都小於等於零 (λ ≤ 0)。

  1. 檢查對稱性: A 的 (1,2) 元素是 1，(2,1) 元素也是 1。(1,3)=(3,1)=0, (2,3)=(3,2)=0。A 是對稱矩陣。

  2. 計算特徵值: 我們需求解 det(A - λI) = 0。 det([[ -1-λ, 1, 0 ], [ 1, -1-λ, 0 ], [ 0, 0, -1-λ ]]) = 0 使用餘因子展開法沿第三行展開： (-1-λ) * det([[ -1-λ, 1 ], [ 1, -1-λ ]]) = 0 (-1-λ) * [(-1-λ)(-1-λ) - 1*1] = 0 (-1-λ) * [(λ+1)² - 1] = 0 (-1-λ) * [λ² + 2λ + 1 - 1] = 0 (-1-λ) * (λ² + 2λ) = 0 -(λ+1) * λ(λ+2) = 0 解得特徵值為 λ₁ = 0, λ₂ = -1, λ₃ = -2。

  3. 結論: 所有的特徵值 (0, -1, -2) 都小於或等於 0。 因此，矩陣 A 是半負定矩陣。

42. 求函數 f(x, y) = x³ + y³ - 27x - 8y + 7 的極值。

解答：

  1. 求一階偏導數並令其為零： ∂f/∂x = 3x² - 27 = 0 => x² = 9 => x = ±3 ∂f/∂y = 3y² - 8 = 0 => y² = 8/3 => y = ±√(8/3) = ±(2√2)/√3 = ±(2√6)/3
  2. 找出所有臨界點： 組合 x 和 y 的所有可能值，得到四個臨界點： P₁ = (3, 2√6/3) P₂ = (3, -2√6/3) P₃ = (-3, 2√6/3) P₄ = (-3, -2√6/3)
  3. 求二階偏導數： ∂²f/∂x² = 6x ∂²f/∂y² = 6y ∂²f/∂x∂y = 0
  4. 計算 Hessian 矩陣的行列式 D： D(x, y) = (∂²f/∂x²) * (∂²f/∂y²) - (∂²f/∂x∂y)² = (6x)(6y) - 0 = 36xy
  5. 對每個臨界點進行判斷：
    • P₁ = (3, 2√6/3): D = 36 * 3 * (2√6/3) = 72√6 > 0。 ∂²f/∂x² = 6 * 3 = 18 > 0。 所以 P₁ 是 相對極小值。
    • P₂ = (3, -2√6/3): D = 36 * 3 * (-2√6/3) = -72√6 < 0。 所以 P₂ 是 鞍點。
    • P₃ = (-3, 2√6/3): D = 36 * (-3) * (2√6/3) = -72√6 < 0。 所以 P₃ 是 鞍點。
    • P₄ = (-3, -2√6/3): D = 36 * (-3) * (-2√6/3) = 72√6 > 0。 ∂²f/∂x² = 6 * (-3) = -18 < 0。 所以 P₄ 是 相對極大值。

結論:

  • 在 (3, 2√6/3) 處有相對極小值。
  • 在 (-3, -2√6/3) 處有相對極大值。
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