財金數量方法習題 - Gemini Pro 2.5 解答 Chapter 05

2025-07-12 15:34:03 Category Icon 未分類

財金數量方法習題 - Gemini Pro 2.5 解答 Chapter 05

1. 一個碗中有 6 個白球與 4 個紅球，從此碗隨機取兩球且不放回，試問抽出兩球為紅球的機率為何？

解答： 這是一個不放回抽樣的古典機率問題。

  • 碗中總共有 6 + 4 = 10 個球。
  • 第一次取到紅球的機率 P(第1顆為紅球) = 4/10。
  • 在第一顆為紅球的條件下，碗中剩下 9 個球，其中有 3 個紅球。
  • 第二次取到紅球的機率 P(第2顆為紅球 | 第1顆為紅球) = 3/9。
  • 兩球皆為紅球的機率是兩者相乘： P(兩球皆為紅球) = (4/10) * (3/9) = 12/90 = 2/15。

2. 樂透彩券的普獎機率為 1/7，每次沒有中普獎的機率為 6/7。試問在購買五次樂透彩券後，第一次與第二次中普獎，且第三次、第四次、第五次不中普獎的機率為何？ 解答： 這是一個獨立事件的機率問題。

  • 中獎機率 P(中) = 1/7
  • 不中獎機率 P(不中) = 6/7
  • 所求的事件順序為 (中, 中, 不中, 不中, 不中)。
  • 因為每次購買彩券的結果是獨立的，所以將各次機率相乘即可： 機率 = P(中) × P(中) × P(不中) × P(不中) × P(不中) = (1/7) × (1/7) × (6/7) × (6/7) × (6/7) = (1/7)² × (6/7)³ = (1/49) × (216/343) = 216 / 16807

3. 一位棒球選手，打擊率為 0.6，且每一次打擊皆為獨立，試問要打擊幾次，才能得到至少擊中一次的機率不小於 0.9？ 解答：

  • 每次打擊的擊中機率 p = 0.6。
  • 每次打擊未擊中的機率 q = 1 - 0.6 = 0.4。
  • 假設需要打擊 n 次。
  • 「至少擊中一次」的對立事件是「n 次都沒有擊中」。
  • n 次都沒有擊中的機率為 (0.4)ⁿ。
  • 因此，至少擊中一次的機率為 1 - (0.4)ⁿ。
  • 根據題目要求，此機率不小於 0.9： 1 - (0.4)ⁿ ≥ 0.9 0.1 ≥ (0.4)ⁿ
  • 對兩邊取對數 (log)： log(0.1) ≥ n × log(0.4) -1 ≥ n × (log(4/10)) -1 ≥ n × (log(4) - log(10)) -1 ≥ n × (0.60206 - 1) -1 ≥ n × (-0.39794)
  • 兩邊同除以 -0.39794 (不等式方向改變)： 1 / 0.39794 ≤ n 2.5129 ≤ n
  • 因為打擊次數 n 必須是整數，所以 n 最小為 3。
  • 答：至少要打擊 3 次。

4. 設事件 A、B、C 為獨立事件，且 P(A)=0.8, P(B)=0.1, P(C)=0.6，試問 P(A’ U (B ∩ C)) 為何？ 解答：

  • 首先計算所需事件的機率：
    • P(A’) = 1 - P(A) = 1 - 0.8 = 0.2。
    • 因為 B 和 C 獨立，所以 P(B ∩ C) = P(B) × P(C) = 0.1 × 0.6 = 0.06。
  • 使用聯集機率公式 P(X U Y) = P(X) + P(Y) - P(X ∩ Y)： P(A’ U (B ∩ C)) = P(A’) + P(B ∩ C) - P(A’ ∩ (B ∩ C))
  • 因為 A, B, C 是獨立事件，所以 A’, B, C 也是獨立事件。 P(A’ ∩ B ∩ C) = P(A’) × P(B) × P(C) = 0.2 × 0.1 × 0.6 = 0.012。
  • 代回公式： P(A’ U (B ∩ C)) = 0.2 + 0.06 - 0.012 = 0.248。

5. 一營造商投標 A、B、C 三項工程，該三項工程能持續的機率為 P(A)=0.5, P(B)=0.8 和 P(C)=0.20，假設 A、B、C 三事件相互獨立。設 X 為該廠商標得的工程數，試求： (1) X 的可能值為多少？試求出 X 的機率質量函數。 (2) P(X ≤ 2) = ? (3) P(0 ≤ X ≤ 2) = ? 解答：

  • 令 A, B, C 分別代表標得三項工程的事件。 P(A) = 0.5, P(B) = 0.8, P(C) = 0.2
  • 其對立事件（未標得）的機率為： P(A’) = 0.5, P(B’) = 0.2, P(C’) = 0.8
  • X 為標得的工程數。

(1) X 的可能值與機率質量函數 (pmf)

  • X 的可能值為 {0, 1, 2, 3}。
  • P(X=0) = P(A’ ∩ B’ ∩ C’) = P(A’)P(B’)P(C’) = 0.5 × 0.2 × 0.8 = 0.08
  • P(X=1) = P(A∩B’∩C’) + P(A’∩B∩C’) + P(A’∩B’∩C) = (0.5×0.2×0.8) + (0.5×0.8×0.8) + (0.5×0.2×0.2) = 0.08 + 0.32 + 0.02 = 0.42
  • P(X=2) = P(A∩B∩C’) + P(A∩B’∩C) + P(A’∩B∩C) = (0.5×0.8×0.8) + (0.5×0.2×0.2) + (0.5×0.8×0.2) = 0.32 + 0.02 + 0.08 = 0.42
  • P(X=3) = P(A∩B∩C) = 0.5 × 0.8 × 0.2 = 0.08
  • 機率質量函數 f(x) 為：f(0)=0.08, f(1)=0.42, f(2)=0.42, f(3)=0.08。

(2) P(X ≤ 2)

  • P(X ≤ 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0.08 + 0.42 + 0.42 = 0.92
  • 或 P(X ≤ 2) = 1 - P(X=3) = 1 - 0.08 = 0.92

(3) P(0 ≤ X ≤ 2)

  • 因為 X 的值不可能為負，所以 P(0 ≤ X ≤ 2) 與 P(X ≤ 2) 相同。
  • P(0 ≤ X ≤ 2) = 0.92

6. 設 B為一事件，且 A₁, A₂, …, Aₙ 是 n 個互斥事件，且 A = Uᵢ₌₁ⁿ Aᵢ，且假設 P(A)>0 和 P(B|Aᵢ)=p，∀i=1, 2, …, n。試證 P(B|A)=p。 解答： 證明：

  1. 根據條件機率的定義： P(B|A) = P(B ∩ A) / P(A)
  2. 將 A = Uᵢ₌₁ⁿ Aᵢ 代入： P(B ∩ A) = P(B ∩ (Uᵢ₌₁ⁿ Aᵢ)) = P(Uᵢ₌₁ⁿ (B ∩ Aᵢ))
  3. 因為 A₁, A₂, …, Aₙ 互斥，所以 (B ∩ A₁), (B ∩ A₂), … , (B ∩ Aₙ) 也互斥。 因此，P(Uᵢ₌₁ⁿ (B ∩ Aᵢ)) = Σᵢ₌₁ⁿ P(B ∩ Aᵢ)
  4. 再由條件機率定義 P(B ∩ Aᵢ) = P(B|Aᵢ) × P(Aᵢ)。 所以，P(B ∩ A) = Σᵢ₌₁ⁿ [P(B|Aᵢ) × P(Aᵢ)]
  5. 根據題目已知條件 P(B|Aᵢ) = p 對所有 i 均成立： P(B ∩ A) = Σᵢ₌₁ⁿ [p × P(Aᵢ)] = p × (Σᵢ₌₁ⁿ P(Aᵢ))
  6. 因為 A₁, A₂, …, Aₙ 是 A 的一個分割（互斥且聯集為 A），所以 P(A) = Σᵢ₌₁ⁿ P(Aᵢ)。 因此，P(B ∩ A) = p × P(A)
  7. 將第 6 步的結果代回第 1 步的公式： P(B|A) = (p × P(A)) / P(A) = p 故得證。

7. 設有兩投資方案，甲公司有 25%的機率採取 A₁ 投資案，有 75%的機率採取 A₂ 投資案；A₁ 投資案有 10%可以在一年內有三成以上的報酬率，A₂ 投資案有 5%可以在一年內有三成以上的報酬率。 … (註：本題的敘述似乎有些混亂且可能存在矛盾。後半段關於乙公司的資訊與最後的問題 “則此公司採用甲公司採用 A₄ 投資案的機率為何？” 語意不清。在此，我們假設問題是要計算「採用甲方案時，能獲得三成以上報酬率的機率」。) 解答：

  • 令 G 為「獲得三成以上報酬率」的事件。
  • 令 A₁ 為「採取 A₁ 投資案」的事件，P(A₁) = 0.25。
  • 令 A₂ 為「採取 A₂ 投資案」的事件，P(A₂) = 0.75。
  • 根據題目給定的條件機率：
    • P(G | A₁) = 0.10 (在採取 A₁ 方案下，獲得高報酬的機率)
    • P(G | A₂) = 0.05 (在採取 A₂ 方案下，獲得高報酬的機率)
  • 我們要求的是採用甲方案時，獲得高報酬的總機率 P(G)。
  • 使用總機率定理： P(G) = P(G | A₁)P(A₁) + P(G | A₂)P(A₂) P(G) = (0.10 × 0.25) + (0.05 × 0.75) P(G) = 0.025 + 0.0375 P(G) = 0.0625 或 6.25%

8. 台大公司有三個廠房可以生產汽車，若其中有一台汽車出現瑕疵，公司經理根據下面的統計資料，可以推斷此瑕疵車最可能來自何廠？

統計資料:

廠房佔總產量百分比瑕疵率
A0.400.05
B0.350.10
C0.250.07

解答： 這是一個應用貝氏定理 (Bayes’ Theorem) 的問題。我們需要計算在已知汽車有瑕疵的條件下，該車來自各廠房的條件機率，然後比較哪個機率最高。

  • 定義事件：

    • A：汽車來自 A 廠
    • B：汽車來自 B 廠
    • C：汽車來自 C 廠
    • D：汽車有瑕疵

  • 從表格中獲取已知機率：

    • 事前機率 (Prior Probabilities):
      • P(A) = 0.40 (A 廠產量佔比)
      • P(B) = 0.35 (B 廠產量佔比)
      • P(C) = 0.25 (C 廠產量佔比)
    • 條件機率 (Conditional Probabilities):
      • P(D|A) = 0.05 (A 廠的瑕疵率)
      • P(D|B) = 0.10 (B 廠的瑕疵率)
      • P(D|C) = 0.07 (C 廠的瑕疵率)

  • 步驟一：計算總瑕疵率 P(D) 我們使用總機率定理： P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C) P(D) = (0.05 × 0.40) + (0.10 × 0.35) + (0.07 × 0.25) P(D) = 0.0200 + 0.0350 + 0.0175 P(D) = 0.0725

  • 步驟二：計算事後機率 (Posterior Probabilities) 我們要求的是 P(A|D), P(B|D), P(C|D)。

    • 來自 A 廠的機率： P(A|D) = [P(D|A)P(A)] / P(D) = 0.0200 / 0.0725 ≈ 0.276
    • 來自 B 廠的機率： P(B|D) = [P(D|B)P(B)] / P(D) = 0.0350 / 0.0725 ≈ 0.483
    • 來自 C 廠的機率： P(C|D) = [P(D|C)P(C)] / P(D) = 0.0175 / 0.0725 ≈ 0.241

  • 結論： 比較三者的機率：0.483 > 0.276 > 0.241。 因為 P(B|D) 的機率最高，所以我們可以推斷，這台瑕疵車最可能來自 B 廠。

9. 養雞場有甲、乙、丙等三棟雞舍，甲棟雞舍的雞隻佔全部雞隻的 40%，乙棟雞舍的雞隻佔全部雞隻的 50%，丙棟雞舍的雞隻佔全部雞隻的 10%。而在甲棟雞舍的雞隻死亡率為 10%，乙棟雞舍的雞隻死亡率為 5%，丙棟雞舍的雞隻死亡率為 2%。今若發現一隻死雞，試求該死雞可能由甲、乙、丙雞舍來的機率各為多少？ 解答： 這是一個貝氏定理的應用。

  • 令 A, B, C 分別代表雞隻來自甲、乙、丙棟的事件。 P(A) = 0.40, P(B) = 0.50, P(C) = 0.10
  • 令 D 代表「雞隻死亡」的事件。 P(D|A) = 0.10, P(D|B) = 0.05, P(D|C) = 0.02
  • 首先，用總機率定理計算任意一隻雞的總死亡率 P(D)： P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C) P(D) = (0.10 × 0.40) + (0.05 × 0.50) + (0.02 × 0.10) P(D) = 0.040 + 0.025 + 0.002 = 0.067
  • 現在，使用貝氏定理計算條件機率 P(A|D), P(B|D), P(C|D)：
    • 來自甲棟的機率 P(A|D): P(A|D) = P(D|A)P(A) / P(D) = 0.040 / 0.067 ≈ 0.597
    • 來自乙棟的機率 P(B|D): P(B|D) = P(D|B)P(B) / P(D) = 0.025 / 0.067 ≈ 0.373
    • 來自丙棟的機率 P(C|D): P(C|D) = P(D|C)P(C) / P(D) = 0.002 / 0.067 ≈ 0.030

10. 試計算大樂透中，同花、葫蘆、陸號及普獎的機率為何？ (註：題目文字與選項不符，在此僅回答問題中的「葫蘆」機率。葫蘆 (Full House) 指的是三張同點數和兩張同點數的牌型。) 解答：

  • 從 52 張牌中任取 5 張的組合總數為 C(52, 5)。 C(52, 5) = (52 × 51 × 50 × 49 × 48) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 2,598,960
  • 計算拿到葫蘆的組合數：
    1. 選擇三張牌的點數 (例如：3 個 K)：有 C(13, 1) = 13 種選擇。
    2. 從該點數的 4 張花色中選 3 張：有 C(4, 3) = 4 種選擇。
    3. 從剩下 12 種點數中選擇兩張牌的點數 (例如：2 個 8)：有 C(12, 1) = 12 種選擇。
    4. 從該點數的 4 張花色中選 2 張：有 C(4, 2) = 6 種選擇。
  • 拿到葫蘆的總組合數 = 13 × 4 × 12 × 6 = 3,744
  • 拿到葫蘆的機率 = 3,744 / 2,598,960 ≈ 0.00144

11. 離散型隨機變數的機率函數為 f(x) = (4! / (x!(4-x)!)) * (1/3)ˣ * (2/3)⁴⁻ˣ, x=0,1,2,3,4。試求 F(-1)、F(2)。

解答： 此為二項分佈 B(n=4, p=1/3) 的機率質量函數 (pmf)。

  • 求 F(-1): F(x) 是累積機率函數 (CDF)，定義為 F(a) = P(X ≤ a)。 隨機變數 X 的可能值為 {0, 1, 2, 3, 4}，因此 P(X < 0) = 0。 F(-1) = P(X ≤ -1) = 0。
  • 求 F(2): F(2) = P(X ≤ 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)。
    • P(X=0) = f(0) = C(4,0)(1/3)⁰(2/3)⁴ = 1 × 1 × (16/81) = 16/81
    • P(X=1) = f(1) = C(4,1)(1/3)¹(2/3)³ = 4 × (1/3) × (8/27) = 32/81
    • P(X=2) = f(2) = C(4,2)(1/3)²(2/3)² = 6 × (1/9) × (4/9) = 24/81
    • F(2) = 16/81 + 32/81 + 24/81 = 72/81 = 8/9。

12. 離散型隨機變數 X 的累積機率函數為 F(x) = Σₙ₌₀ˣ (4! / (n!(4-n)!)) * (1/3)ⁿ * (2/3)⁴⁻ⁿ, x=0,1,2,3,4。試求 f(0)、f(1)、f(2)、f(3)、f(4)。 解答： f(x) 是機率質量函數 (pmf)。我們可以直接計算 f(x) = C(4,x)(1/3)ˣ(2/3)⁴⁻ˣ 的值。

  • f(0) = C(4,0)(1/3)⁰(2/3)⁴ = 1 × 1 × (16/81) = 16/81
  • f(1) = C(4,1)(1/3)¹(2/3)³ = 4 × (1/3) × (8/27) = 32/81
  • f(2) = C(4,2)(1/3)²(2/3)² = 6 × (1/9) × (4/9) = 24/81
  • f(3) = C(4,3)(1/3)³(2/3)¹ = 4 × (1/27) × (2/3) = 8/81
  • f(4) = C(4,4)(1/3)⁴(2/3)⁰ = 1 × (1/81) × 1 = 1/81

13. 隨機變數 X 的機率密度函數為 fₓ(x) = { cx, 0 < x < 4; 0, otherwise }，試決定 c 值。 解答： 機率密度函數 (pdf) 在其定義域上的積分必須等於 1。 ∫₀⁴ cx dx = 1 [c * x²/2] 從 0 到 4 = 1 c * (4²/2) - c * (0²/2) = 1 c * (16/2) = 1 8c = 1 c = 1/8

14. 隨機變數 X 的機率密度函數為 fₓ(x) = { c(2-x), 0 < x < 2; 0, otherwise }，試決定 c 值。 解答： 機率密度函數 (pdf) 在其定義域上的積分必須等於 1。 ∫₀² c(2-x) dx = 1 c * [2x - x²/2] 從 0 到 2 = 1 c * [(2*2 - 2²/2) - (0)] = 1 c * (4 - 2) = 1 2c = 1 c = 1/2

15. 試求擲兩公正六面骰子點數和的期望值。 解答： 令 X 為第一顆骰子的點數，Y 為第二顆骰子的點數。我們要求 E[X+Y]。 根據期望值的線性性質，E[X+Y] = E[X] + E[Y]。

  • 對於一顆公正的六面骰，其點數期望值為： E[X] = (1+2+3+4+5+6) / 6 = 21/6 = 3.5
  • 同理，E[Y] = 3.5。
  • 兩顆骰子點數和的期望值為： E[X+Y] = 3.5 + 3.5 = 7

16. 續型隨機變數的機率函數為 f(x) = 1/18，0 ≤ x ≤ 18，試求 F(0)、F(18)、F(x)。 解答： 此為在區間 [0, 18] 上的連續均勻分佈。

  • 累積機率函數 F(x) = P(X ≤ x) = ∫₀ˣ f(t) dt。 F(x) = ∫₀ˣ (1/18) dt = [t/18] 從 0 到 x = x/18 (此公式適用於 0 ≤ x ≤ 18)。
  • 完整的 F(x) 函數為： F(x) = { 0, if x < 0; x/18, if 0 ≤ x ≤ 18; 1, if x > 18 }
  • F(0) = 0/18 = 0
  • F(18) = 18/18 = 1
  • F(x) = { 0, if x < 0; x/18, if 0 ≤ x ≤ 18; 1, if x > 18 }

17. 連續型隨機變數 X 的機率函數為 f(x) = 1/25，0 ≤ x ≤ 25，試求隨機變數 X 的期望值。 解答： 此為在區間 [0, 25] 上的連續均勻分佈。

  • 對於區間 [a, b] 上的均勻分佈，期望值 E[X] = (a+b)/2。 E[X] = (0+25)/2 = 12.5
  • 也可以透過積分計算： E[X] = ∫₀²⁵ x * f(x) dx = ∫₀²⁵ x * (1/25) dx = (1/25) * [x²/2] 從 0 到 25 = (1/25) * (25²/2) = 25/2 = 12.5

18. 連續型隨機變數 X 的機率函數為 f(x) = (1/3)e⁻ˣ/³，x ≥ 0，試求隨機變數 X 的期望值。 解答： 此為指數分佈，其機率密度函數為 f(x) = λe⁻ˡˣ。

  • 比較 f(x) = (1/3)e⁻ˣ/³ 與標準形式，可知率母數 λ = 1/3。
  • 對於率母數為 λ 的指數分佈，其期望值 E[X] = 1/λ。 E[X] = 1 / (1/3) = 3

19. 連續型隨機變數 X 的機率函數為 f(x) = 1/25，0 ≤ x ≤ 25，試求其變異數。 解答： 此為在區間 [0, 25] 上的連續均勻分佈。

  • 對於區間 [a, b] 上的均勻分佈，變異數 Var(X) = (b-a)² / 12。 Var(X) = (25-0)² / 12 = 625 / 12。
  • Var(X) = 625/12 (約為 52.083)。

20. 連續型隨機變數 X 的機率函數為 f(x) = (1/3)e⁻ˣ/³，x ≥ 0，試求其變異數。 解答： 此為率母數 λ = 1/3 的指數分佈。

  • 對於率母數為 λ 的指數分佈，其變異數 Var(X) = 1/λ²。 Var(X) = 1 / (1/3)² = 1 / (1/9) = 9。

21. 若連續型隨機變數 X 的機率函數為 f(x) = 1/25，0 ≤ x ≤ 25，試求其動差母函數。

解答： 動差母函數 (MGF) 的定義為 Mₓ(t) = E[eᵗˣ]。

  • Mₓ(t) = ∫₀²⁵ eᵗˣ * f(x) dx = ∫₀²⁵ eᵗˣ * (1/25) dx
  • = (1/25) * [ (1/t) * eᵗˣ ] 從 0 到 25 (假設 t ≠ 0)
  • = (1 / (25t)) * [e²⁵ᵗ - e⁰]
  • = (e²⁵ᵗ - 1) / (25t)
  • (當 t=0 時，Mₓ(0) = 1)

22. 若連續型隨機變數 X 的機率函數為 f(x) = (1/3)e⁻ˣ/³，x ≥ 0，試求其動差母函數。 解答： 此為率母數 λ = 1/3 的指數分佈。

  • 對於率母數為 λ 的指數分佈，其動差母函數 Mₓ(t) = λ / (λ - t)，其中 t < λ。
  • 將 λ = 1/3 代入： Mₓ(t) = (1/3) / (1/3 - t) = (1/3) / ((1-3t)/3) = 1 / (1 - 3t)，其中 t < 1/3。

23. 試舉例說明兩個機率密度函數的一階與二階主要動差相同，但三階主要動差不同。 解答： 此題需要比較兩個具體的機率分佈，但題目未提供。在此提供一個一般性的說明：

  • 一階動差 (期望值)：衡量分佈的中心位置。
  • 二階中央動差 (變異數)：衡量分佈的離散程度或寬度。
  • 三階中央動差 (標準化後為偏態)：衡量分佈的不對稱性。
  • 說明：若兩個機率分佈的一階與二階動差相同，代表它們的中心位置和離散程度相似。但若三階動差不同，則表示它們的對稱性不同。
  • 舉例：一個標準常態分佈 (期望值為0，變異數為1) 和一個經過平移和縮放的 Gamma 分佈，可以調整其參數使其期望值也為0、變異數也為1。然而，標準常態分佈是完全對稱的（三階動差為0），而 Gamma 分佈是右偏的（三階動差為正），因此它們的三階動差會不同。

24. 試舉例說明兩個機率密度函數的一階、二階與三階主要動差相同，但四階主要動差不同。 解答： 此題同樣需要比較兩個具體的機率分佈，題目未提供。在此提供一個一般性的說明：

  • 一階、二階、三階動差：分別對應分佈的中心、離散度和偏斜度。
  • 四階中央動差 (標準化後為峰度)：衡量分佈尾部的厚重程度和峰度的尖峭程度。
  • 說明：若兩個機率分佈的前三階動差都相同，代表它們具有相同的中心位置、離散程度和對稱性。但若四階動差不同，則表示它們的峰態不同。
  • 舉例：一個標準常態分佈（峰度為3）和一個自由度大於4的學生 t-分佈（經過標準化後期望值為0，變異數為1，且為對稱分佈故三階動差為0）。t-分佈的尾部比常態分佈更「厚重」，其峰度值會大於3。因此，這兩個分佈在前三階動差上相同（或相似），但在衡量尾部厚度的四階動差上有所不同。
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